Stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.

[The River]

W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstawy kąty alfa i beta. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.

Zrobiłem taki oto rysunek:


Dodatkowo zauważyłem następujące rzeczy:

niech \(\displaystyle{ V _{p}}\) oznacza objętość prostopadłościanu
a \(\displaystyle{ V _{w}}\) będzie objętością walca

\(\displaystyle{ \frac{V _{p} }{V _{w} } = \frac{abc}{ \pi r ^{2} \cdot c } = \frac{ab}{\pi r ^{2}}}\)

natomiast \(\displaystyle{ r ^{2}= \frac{a ^{2}+b ^{2} }{4}}\)

więc \(\displaystyle{ \frac{V _{p} }{V _{w} } = \frac{ab}{\pi \cdot \frac{a ^{2}+b ^{2} }{4}}}}\)

Tylko nie mogę znaleźć sposobu na wyrażenia a i b za pomocą danych kątów alfa i beta.
Może ktoś podrzuci jakąś wskazówkę.

P.S. Próbowałem korzystać z sinusów i cosinusów alfa oraz beta w trójkącie prostokątnym utworzonym z przekątnej, krawędzie a i przekątnej ściany bocznej, ale jednak nie doszedłem do żadnego sensownego rozwiązania.

[erina]

Obu wartości - a i b nie wyznaczysz, bo zależą od wielkości tego całego obiektu. Postaraj się wyznaczyć ich stosunek - tzn. załóż, że a masz dane i policz b - wtedy w tym ułamku a z b się skrócą i wyjdzie wynik.