Pole całkowite i objątość stożka

[Nividis]

Pole powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem koła o promieniu 16 oraz kącie \(\displaystyle{ 120^{0}}\). Oblicz pole całkowite i objętość tego stożka. Podaj sinus kąta tworzącej stożka z podstawą.

[Lbubsazob]

Żeby znaleźć promień, korzystasz ze wzoru: \(\displaystyle{ \frac{r}{l}= \frac{\alpha}{360}}\) (l=16, bo to tworząca stożka powstałego przez wycinek kołowy)
\(\displaystyle{ \frac{r}{16}= \frac{120}{360} \Rightarrow r= \frac{16}{3}}\)

[lukasz1804]

Ponieważ kąt wycinka koła będącego powierzchnią boczną stożka ma miarę \(\displaystyle{ 120^o}\), to ta powierzchnia stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) powierzchni koła (o promieniu 16). Stąd i ze wzoru na pole koła wynika, że pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(\displaystyle{ P_b=\frac{1}{3}\cdot\pi 16^2=\frac{256}{3}\pi}\).
Z drugiej strony wiemy, że długość promienia wycinka kołowego będącego powierzchnią boczną stożka jest równa długości tworzącej tego stożka. Zatem mając obliczone \(\displaystyle{ P_b}\), ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka wyznaczymy długość \(\displaystyle{ r}\) promienia podstawy stożka: \(\displaystyle{ \frac{256}{3}\pi=\pi\cdot r\cdot 16}\), skąd \(\displaystyle{ r=\frac{16}{3}}\).
Stąd i z twierdzenia Pitagorasa można wyznaczyć długość \(\displaystyle{ h}\) wysokości stożka: \(\displaystyle{ h=\sqrt{16^2-r^2}=\frac{32}{3}\sqrt{2}}\).

Mając te dane łatwo doprowadzić rozwiązanie do końca.

[Nividis]

Dzięki bardzo za wytłumaczenie tego zadania! Teraz wszystko już rozumiem