Ostrosłup, pole przekroju

[Pan_Pietrucha]

W ostrosłupie, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej 5, jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe tworzą z tą płaszczyzną kąt α taki, że sinα=√3/3. Przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną prostopadłą do podstawy jest kwadratem. Oblicz pole tego kwadratu.

Wiem, że to zadanie już się pojawiło, ale nikt nie przedstawił rozwiązania.

[anna_]

Masz może odpowiedź?

[Pan_Pietrucha]

50/9

[anna_]

\(\displaystyle{ c=|AC|=5 \sqrt{2}}\)

Z trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{H}{k}= \frac{ \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ H^2+a^2=k^2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{H}{k}= \frac{ \sqrt{3}}{3}\\ H^2+5^2=k^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} H= \frac{5 \sqrt{2} }{2} \\ k= \frac{5 \sqrt{6} }{2} \end{cases}}\)

Z podobieństwa trojkątów \(\displaystyle{ ADG}\) i \(\displaystyle{ ABS}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{H}{a}}\)

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ DBE}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{c} = \frac{5-y}{a}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{\frac{5 \sqrt{2} }{2}}{5} \\ \frac{x}{5 \sqrt{2}} = \frac{5-y}{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{5 \sqrt{2} }{3} \\ y= \frac{10}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P=x^2=(\frac{5 \sqrt{2} }{3})^2= \frac{50}{9}}\)