spodek wysokości ostrosłupa

[yoana91]

mam pytanie, gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa, w którego podstawie mamy trójkąt różnoboczny, czy jest to tak samo jak w przypadku ostrosłupa trójkątnego prawidłowego, na środku okręgu opisanego na podstawie? nie mogę nigdzie znaleźć tej informacji.

[lukasz1804]

Na Twoje pytanie odpowiedź jest zawarta w definicji ostrosłupa prostego.
Ostrosłup nazywamy prostym, gdy na jego podstawie można opisać okrąg i środek tego okręgu pokrywa się ze spodkiem wysokości ostrosłupa.

Wiadomo oczywiście, że na każdym trójkącie można opisać okrąg.
Gdy ten trójkąt jest różnoboczny, to wobec powyższej definicji spodek wysokości ostrosłupa będzie się pokrywał ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie dokładnie wtedy, gdy ostrosłup ten będzie ostrosłupem prostym.

Łatwo można sobie wyobrazić zarówno ostrosłup prosty mający w podstawie trójkąt różnoboczny, jak i ostrosłup o takiej podstawie, który nie jest ostrosłupem prostym (w świetle twierdzenia o ostrosłupie prostym przynajmniej dwie jego krawędzie boczne są wtedy różnej długości).

[yoana91]

w takim razie kiedy spodek wysokości leży w punkcie przecięcia środkowych podstawy?

[mat_61]

Raczej w punkcie przecięcia symetralnych boków (a nie środkowych) jeżeli jest to faktycznie ostrosłup prosty.
W pytaniu nie ma jednak stwierdzenia, że jest to ostrosłup prosty, a wóczas nie wiadomo gdzie leży spodek wysokości (może leżeć w dowolnym punkcie płaszczyzny podstawy).
Jego położenie może co najwyżej wynikać z treści zadania i opisu tego ostrosłupa.

[yoana91]

Np. mam takie zadanie

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden bok ma długość 4, a kąty przyległe do tego boku mają miary 75 i 45 . Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia koła opisanego na podstawie. Oblicz objętość osrosłupa.

wiem, że tutaj spodek wysokości nie jest w ogóle potrzebny, ale w kluczu narysowano ostrosłup, którego spodek jest właśnie w przecięciu środkowych, stąd moje pytanie.

[mat_61]

wiem, że tutaj spodek wysokości nie jest w ogóle potrzebny, ale w kluczu narysowano ostrosłup, którego spodek jest właśnie w przecięciu środkowych, stąd moje pytanie.

Faktycznie w tym zadaniu położenie spodka wysokości jest niepotrzebne. Można oczywiście narysować jakiś ostrosłup traktując rysunek jako pomocniczy dla tego zadania. Ale dla takiej treści położenie spodka jest nieokreślone - może on być gdziekolwiek na płaszczyźnie podstawy. A już całkiem nielogiczne jest rysowanie tego spodka w punkcie przecięcia środkowych.
Gdyby nawet założyć, że chodzi o ostrosłup prosty (choć nie ma do tego żadnych podstaw wynikających z treści zadania) to spodek byłby w środku okręgu opisanego na podstawie. A okrąg opisany na trójkącie ma środek w punkcie przecięcia symetralnych jego boków a nie w punkcie przecięcia środkowych.

[jacurg]

Raczej w punkcie przecięcia symetralnych boków (a nie środkowych) jeżeli jest to faktycznie ostrosłup prosty.
W pytaniu nie ma jednak stwierdzenia, że jest to ostrosłup prosty, a wóczas nie wiadomo gdzie leży spodek wysokości (może leżeć w dowolnym punkcie płaszczyzny podstawy).

Dodam, że fakt, że spodek wysokości leży w płaszczyźnie podstawy nie oznacza jeszcze, że leży na podstawie - może leżeć daleko poza nią. Wszak środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym leży poza tym trójkątem. Wówczas taki ostrosłup, choć z definicji jest prosty, w rzeczywistości jest raczej skośny. Dlatego, myślę, że definicja ostrosłupa prostego nie została wybrana zbyt dobrze. Przy obecnej definicji (mam nadzieję, że kiedyś zostanie zmieniona) ostrosłup prosty o o podstawie rombu nie będącego kwadratem po prostu nie istnieje. Co więcej takich podstaw ostrosłupa, dla których nie można zbudować ostrosłupa prostego jest nieskończenie wiele razy więcej niż takich, dla których da się skonstruować ostrosłup prosty. Czy nie lepiej byłoby zdefiniować spodek wysokości ostrosłupa prostego jako środek ciężkości podstawy?