Walec, stożek, ostrosłup, graniastosłup

[SC0FiElD]

1) Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 8 cm. Oblicz objętość tego walca.

2) Tworząca stożka ma długość 6 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

3) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 8 cm i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

4) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna o długość \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)cm tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze 30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

[Lbubsazob]

1)
\(\displaystyle{ H \sqrt{2}=8 \Rightarrow H=4 \sqrt{2}\\
r=2 \sqrt{2} \\
V=\pi r^2H=32\pi}\)-- 25 kwi 2010, o 09:57 --2) \(\displaystyle{ l=6 \Rightarrow H=3, r=3 \sqrt{3}}\) (połowa trójkąta równobocznego)

3) \(\displaystyle{ k=8 \Rightarrow H=4}\)
Trzeci bok trójkąta w przekroju to połowa przekątnej podstawy, więc: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2} =4 \sqrt{3} \Rightarrow a=4 \sqrt{6}}\)

[agulka1987]

1.

\(\displaystyle{ H=2r}\)

\(\displaystyle{ 8^2 = 2H^2}\)

\(\displaystyle{ H^2 = 32 \Rightarrow H=4 \sqrt{2}}\)


\(\displaystyle{ r=2 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ V=\pi r^2 \cdot H = 32\pi \sqrt{2} \ cm^3}\)

2.
\(\displaystyle{ sin30^o = \frac{H}{l}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{H}{6}}\)

\(\displaystyle{ H=3}\)

\(\displaystyle{ r^2 = l^2-H62 = 36 - 9 = 27 \Rightarrow r=3 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot H = = 27\pi \ cm^3}\)

\(\displaystyle{ P_{pc} = \pi r^2 + \pi r l = 27\pi + 18\pi \sqrt{3} = 9\pi(3+2 \sqrt{3} ) \ cm^2}\)

[Lbubsazob]

4) Jak przekątna graniastosłupa ma \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\), to przekątna podstawy ma \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) (z własności równobocznego).
W takim razie \(\displaystyle{ H= \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}= \sqrt{6}}\).

[agulka1987]

\(\displaystyle{ cos30^o = \frac{H}{D}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{H}{2 \sqrt{2} }}\)

\(\displaystyle{ H= \sqrt{6 }}\)


\(\displaystyle{ d_{p} = a \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ (a \sqrt{2})^2 = D^2 - H^2}\)

\(\displaystyle{ 2a^2 = 8 - 6}\)

\(\displaystyle{ a=1}\)


\(\displaystyle{ V=a^2H = \sqrt{6} \ cm^3}\)

\(\displaystyle{ P_{pc} = 2a^2 + 4aH = 2 + 4 \sqrt{6} = 2(1+2 \sqrt{6}) \ cm^2}\)

[SC0FiElD]

Prosiłbym tylko jak najprostszym sposobem, bez sinusów, cosinusów itp

[Lbubsazob]

Skorzystaj z tego, że trójkąty w zadaniach są połowami równobocznego - czyli boki mają długość \(\displaystyle{ x, 2x, x \sqrt{3}}\). Tam, gdzie jest kąt \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\), to krótszy bok ma długość \(\displaystyle{ x \sqrt{3}}\) (ze wzoru na wysokość).