Pole i objętość graniastosłupa

[Crazy_Boy_1993]

1. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 90. Wyznacz wymiary graniastosłupa wiedząc, że suma długości wszystkich jego krawędzi jest równa 48.

2. Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 2\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa.

[Kartezjusz]

a-krawędź podstawy
b-krawędź boczna .
Z I części mamy
\(\displaystyle{ 2a^{2}+4ab=90}\)
Z II
\(\displaystyle{ 8a+4b=48}\)
Rugujesz b z II równania i podstawiasz do I Otrzymasz równanie kwadratowe
Można wcześniej równania podzielić odpowiednio przez 2 i 4

[agulka1987]

1.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8a+4b=48 \Rightarrow b=12-2a \\ 2a^2+4ab=90 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2a^2 + 4a(12-2a)=90}\)

\(\displaystyle{ 2a^2 + 48a-8a^2 = 90}\)

\(\displaystyle{ -6a^2 + 48a-90=0}\)

\(\displaystyle{ a^2 - 8a+15=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 64-60 = 4, \sqrt{\Delta} =2}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{8+2}{2}=5 \ lub \ a= \frac{8-2}{2}=3}\)

\(\displaystyle{ b=12-2 \cdot 5=2 \ lub \ b=12-2 \cdot 3=6}\)

[saaabrinaaa]

Zad 1
Ppc=2Pp+4Pb S=8a+4H
90=2Pp+4Pb 48=8a+4H
45=Pp+2Pb 12=2a+H
Pp=a*a H=12-2a
Pb=a*H
45=a*a+2a(12-a)
masz równanie kwadratowe do rozwiazania, obliczysz a, pamietaj załozeniu i pozniej latwo znajdziesz H.

[agulka1987]

2.

\(\displaystyle{ cos60^o = \frac{d_{p}}{D}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{d_{p}}{2 \sqrt{3} }}\)

\(\displaystyle{ d_{p} = \sqrt{3}}\)


\(\displaystyle{ d_{p}=2a \Rightarrow a = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)


\(\displaystyle{ tg60^o = \frac{H}{d_{p}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{H}{ \sqrt{3} } \Rightarrow H=3}\)

\(\displaystyle{ V= P_{p} \cdot H = \frac{3a^2 \sqrt{3} }{2} \cdot H = ...}\)

\(\displaystyle{ P_{pc} = 2P_{p} + 6P_{b} = 2 \cdot \frac{3a^2 \sqrt{3} }{2} + 6a \cdot H=...}\)