W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędzie boczne o długości \(\displaystyle{ 9 \sqrt{2}}\) sa do siebie prostopadle. Oblicz objętość i pole całkowite tego ostrosłupa oraz sinus kata nachylenia sciany bocznej do płaszczyzny.
Po rozwinięciu powierzchni bocznej walca otrzymano kwadrat o boku \(\displaystyle{ 16 \pi ^{2}}\). Ile jest równa objętość ?
Ostrosłup/ Walec
-
martyna640
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 19 mar 2007, o 20:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z neta
- Podziękował: 18 razy
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Ostrosłup/ Walec
1.
dwa przeciwległe ramiona i przekatna podstawy tworza tr.prostokatny
\(\displaystyle{ (d_{p})^2 = 2b^2}\)
\(\displaystyle{ (d_{p})^2 = 2 \cdot \left( 9 \sqrt{2} \right)^2 = 2 \cdot 162 =324}\)
\(\displaystyle{ d_{p} = \sqrt{324} =18}\)
\(\displaystyle{ d_{p}=a \sqrt{2} \Rightarrow 18=a \sqrt{2} \Rightarrow 9 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ H^2 = b^2 - \left( \frac{1}{2}d_{p} \right)^2 = \left( 9 \sqrt{2} \right)^2 - 9^2 = 162-81=81}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{81}=9}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(9 \sqrt{2} \right)^2 \cdot 9 = 486 (j^3)}\)
\(\displaystyle{ (h_{b})^2 = H^2 + \left( \frac{1}{2}a \right)^2 = 9^2 + \left( \frac{9 \sqrt{2} }{2} \right)^2 = 81+ \frac{81}{2}= \frac{243}{2}}\)
\(\displaystyle{ h_{b} = \frac{9 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } = \frac{9 \sqrt{6} }{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h_{b} = \left(9\sqrt{2} \right)^2 + 2 \cdot 9\sqrt{2} \cdot \frac{9\sqrt{6}}{2} = 162+81 \sqrt{12} =162+162 \sqrt{3}=162(1+ \sqrt{3}) j^2}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{H}{h_{b}} = \frac{9}{ \frac{9\sqrt{6}}{2} }=9 \cdot \frac{2}{9\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{6}}{3}}\)
dwa przeciwległe ramiona i przekatna podstawy tworza tr.prostokatny
\(\displaystyle{ (d_{p})^2 = 2b^2}\)
\(\displaystyle{ (d_{p})^2 = 2 \cdot \left( 9 \sqrt{2} \right)^2 = 2 \cdot 162 =324}\)
\(\displaystyle{ d_{p} = \sqrt{324} =18}\)
\(\displaystyle{ d_{p}=a \sqrt{2} \Rightarrow 18=a \sqrt{2} \Rightarrow 9 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ H^2 = b^2 - \left( \frac{1}{2}d_{p} \right)^2 = \left( 9 \sqrt{2} \right)^2 - 9^2 = 162-81=81}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{81}=9}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(9 \sqrt{2} \right)^2 \cdot 9 = 486 (j^3)}\)
\(\displaystyle{ (h_{b})^2 = H^2 + \left( \frac{1}{2}a \right)^2 = 9^2 + \left( \frac{9 \sqrt{2} }{2} \right)^2 = 81+ \frac{81}{2}= \frac{243}{2}}\)
\(\displaystyle{ h_{b} = \frac{9 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } = \frac{9 \sqrt{6} }{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h_{b} = \left(9\sqrt{2} \right)^2 + 2 \cdot 9\sqrt{2} \cdot \frac{9\sqrt{6}}{2} = 162+81 \sqrt{12} =162+162 \sqrt{3}=162(1+ \sqrt{3}) j^2}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{H}{h_{b}} = \frac{9}{ \frac{9\sqrt{6}}{2} }=9 \cdot \frac{2}{9\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{6}}{3}}\)