kąt dwuścienny

[mycha-mycha1]

kąt dwuścienny między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę 120
Znajdź miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

[Lbubsazob]

zielony trójkąt - zawiera kąt dwuścienny
czerwony trójkąt - zawiera kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
2a - krawędź podstawy
h - wysokość ściany bocznej
H - wysokość ostrosłupa
w - wysokość przekroju
k - krawędź boczna

1) Wysokość w przekroju dzieli ten trójkąt na 2 trójkąty o kącie \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), więc bok przekroju ma długość 2w. Z Pitagorasa liczymy, ile wynosi ten najkrótszy odcinek w zielonym przekroju:
\(\displaystyle{ w^2+x^2= \left( 2w\right)^2 \Rightarrow x=w \sqrt{3}}\)
Ten odcinek to jednocześnie połowa przekątnej podstawy, więc:
\(\displaystyle{ w \sqrt{3}=a \sqrt{2} \Rightarrow w= \frac{a \sqrt{6} }{3}}\)

2) Pole ściany bocznej można wyrazić \(\displaystyle{ a\cdot h}\) lub \(\displaystyle{ w\cdot k}\). Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ a\cdot h= \frac{a \sqrt{6} }{3}\cdot k \\
a \sqrt{6}k=3a\cdot h \Rightarrow h= \frac{ \sqrt{6} }{3}k}\)

3) Teraz wyznaczmy a w zależności od k, patrząc na połowę ściany bocznej.
\(\displaystyle{ a^2+h^2=k^2 \\
a^2+ \left( \frac{ \sqrt{6} }{3} k \right)^2=k^2 \Rightarrow a= \frac{ \sqrt{3} }{3}k}\)

4) Teraz zajmiemy się przekrojem osiowym ostrosłupa, żeby wyznaczyć H (znów z Pitagorasa):
\(\displaystyle{ a^2+H^2=h^2 \\
\left( \frac{ \sqrt{3} }{3} k\right) ^2+H^2= \left( \frac{ \sqrt{6} }{3}k \right)^2 \\
H= \frac{ \sqrt{3} }{3}k}\)

5) Mając H i h, możemy wyznaczyć sinus kąta.
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{H}{h} \\
\frac{ \frac{ \sqrt{3} }{3}k }{ \frac{ \sqrt{6} }{3}k }= \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{6} = \frac{ \sqrt{18} }{6} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)