wymiary graniastosłupa o największym polu pow. bocznej

[lyth]

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o wysokości 6. W stożek wpisujemy rożne graniastosłupy prawidłowe trójkątne tak ze jedna podstawa graniastosłupa jest zawarta w podstawie stożka, a wierzchołki drugiej lezą na powierzchni bocznej stożka. Wyznacz wymiary takiego graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej będzie największe.

z góry dziękuję za pomoc

[florek177]

w podstawie masz trójkąt równoboczny o boku x; y - wysokość graniastosłupa; H - wysokość stożka; h - wysokość podstawy graniastosłupa: \(\displaystyle{ h = \frac{\sqrt{3} \, x}{2} \,\,\,}\);
policz - r.

\(\displaystyle{ P_{b} = 3 \cdot x \cdot y = max}\);

z proporcji mamy: \(\displaystyle{ \frac{H}{r} = \frac{y}{r - \frac{2}{3} \, h}}\);

wyznacz y, wstaw do wzoru i policz optymalne x.