1. Sześcian, którego krawędź ma długość 4 przecięto płaszczyzną, do której należą dokładnie trzy wierzchołki sześcianu. Oblicz objętość otrzymanego przekroju.
2. Znaleźć odległość środka ściany sześcianu od jego przekątnej, jeżeli pole powierzchni sześcianu jest równe 96.
3. W prostopadłościanie długości trzech krawędzi są kolejnymi liczbami naturalymi. Przekątna prostopadłościanu ma długość\(\displaystyle{ \sqrt{14}}\) . Oblicz objętość i pole pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
4. Przekątna prostopadłościanu o długości d=4\(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) cm tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze alpha =60 stopni. Wiedząc, że stosunek długości krawędzi podstawy jest 2:3, oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
5. Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami parzystymi. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu wiedząc, że przekątna ma długość d=10\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) .
6. Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi wyrazami ciągi geometrycznego o pierwszym wyrazie a=2. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu wiedząc, że przekątna ma długość d=2\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) .
7. Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a=3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu wiedząc, że przekątna ma długości d=11\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
z góry dziękuję za pomoc
stereometria. prostopadłościan, sześcian. pole i objętość.
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
stereometria. prostopadłościan, sześcian. pole i objętość.
3.
\(\displaystyle{ D^2 = a^2+b^2+c^2}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{14})^2 = x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2}\)
\(\displaystyle{ 14 = x^2 + x^2+2x+1+x^2+4x+4}\)
\(\displaystyle{ 14 = 3x^2+6x+5}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16, \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-2+4}{2}=1}\)
boki prostopadłościanu maja długość 1, 2, 3
\(\displaystyle{ V=abc = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6(j^3)}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2(ab+ac+bc) = 2(2+3+6) = 22(j^2)}\)
-- 18 kwietnia 2010, 11:19 --
4.
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \Rightarrow a= \frac{2}{3}b}\)
\(\displaystyle{ sin60^o = \frac{c}{D}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{c}{4 \sqrt{13} }}\)
\(\displaystyle{ c = 2 \sqrt{39}}\)
\(\displaystyle{ cos60^o = \frac{d_{p}}{D}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{d_{p}}{4 \sqrt{13} }}\)
\(\displaystyle{ d_{p} = 2 \sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ d_{p} = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{ \left( \frac{2}{3}b \right)^2+b^2 } = \sqrt{ \frac{4}{9}b^2+b^2 } = \sqrt{ \frac{13}{9}b^2 } = \frac{ \sqrt{13} }{3} b}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{13} =\frac{ \sqrt{13} }{3} b \Rightarrow b=2 \sqrt{13} \cdot \frac{3}{ \sqrt{13} } =6}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2}{3}b = 4}\)
\(\displaystyle{ V=abc = 4 \cdot 6 \cdot 2 \sqrt{39} = 48 \sqrt{39} \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2(ab+ac+bc) = 2(24 + 8 \sqrt{39} + 12 \sqrt{39}) = 48 + 40 \sqrt{39} = 8(6+5 \sqrt{39}) \ cm^2}\)-- 18 kwietnia 2010, 11:24 --\(\displaystyle{ D^2 = a^2+b^2+c^2}\)
\(\displaystyle{ (10\sqrt{2})^2 = x^2 + (x+2)^2 + (x+4)^2}\)
\(\displaystyle{ 200 = x^2 + x^2+4x+4+x^2+8x+16}\)
\(\displaystyle{ 200 = 3x^2+12+20}\)
\(\displaystyle{ x^2+4x-60=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 256, \sqrt{\Delta}=16}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-4+16}{2}=6}\)
boki prostopadłościanu maja długość 6, 8, 10
\(\displaystyle{ V=abc = 6 \cdot 8 \cdot 10 = 480(j^3)}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2(ab+ac+bc) = 2(48+60+80) = 376(j^2)}\)
\(\displaystyle{ D^2 = a^2+b^2+c^2}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{14})^2 = x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2}\)
\(\displaystyle{ 14 = x^2 + x^2+2x+1+x^2+4x+4}\)
\(\displaystyle{ 14 = 3x^2+6x+5}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16, \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-2+4}{2}=1}\)
boki prostopadłościanu maja długość 1, 2, 3
\(\displaystyle{ V=abc = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6(j^3)}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2(ab+ac+bc) = 2(2+3+6) = 22(j^2)}\)
-- 18 kwietnia 2010, 11:19 --
4.
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \Rightarrow a= \frac{2}{3}b}\)
\(\displaystyle{ sin60^o = \frac{c}{D}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{c}{4 \sqrt{13} }}\)
\(\displaystyle{ c = 2 \sqrt{39}}\)
\(\displaystyle{ cos60^o = \frac{d_{p}}{D}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{d_{p}}{4 \sqrt{13} }}\)
\(\displaystyle{ d_{p} = 2 \sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ d_{p} = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{ \left( \frac{2}{3}b \right)^2+b^2 } = \sqrt{ \frac{4}{9}b^2+b^2 } = \sqrt{ \frac{13}{9}b^2 } = \frac{ \sqrt{13} }{3} b}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{13} =\frac{ \sqrt{13} }{3} b \Rightarrow b=2 \sqrt{13} \cdot \frac{3}{ \sqrt{13} } =6}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2}{3}b = 4}\)
\(\displaystyle{ V=abc = 4 \cdot 6 \cdot 2 \sqrt{39} = 48 \sqrt{39} \ cm^3}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2(ab+ac+bc) = 2(24 + 8 \sqrt{39} + 12 \sqrt{39}) = 48 + 40 \sqrt{39} = 8(6+5 \sqrt{39}) \ cm^2}\)-- 18 kwietnia 2010, 11:24 --\(\displaystyle{ D^2 = a^2+b^2+c^2}\)
\(\displaystyle{ (10\sqrt{2})^2 = x^2 + (x+2)^2 + (x+4)^2}\)
\(\displaystyle{ 200 = x^2 + x^2+4x+4+x^2+8x+16}\)
\(\displaystyle{ 200 = 3x^2+12+20}\)
\(\displaystyle{ x^2+4x-60=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 256, \sqrt{\Delta}=16}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-4+16}{2}=6}\)
boki prostopadłościanu maja długość 6, 8, 10
\(\displaystyle{ V=abc = 6 \cdot 8 \cdot 10 = 480(j^3)}\)
\(\displaystyle{ P_{pc} = 2(ab+ac+bc) = 2(48+60+80) = 376(j^2)}\)