objetośc graniastosłupa

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
kolezankaqq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 6 mar 2010, o 15:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: radom

objetośc graniastosłupa

Post autor: kolezankaqq »

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkatny. wysokośc graniastosłupa jest równa h. Kat między przekatnymi ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka górnej podstawy jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). wyznacz objętośc graniastosłupa.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

objetośc graniastosłupa

Post autor: lukasz1804 »

Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Wtedy w myśl twierdzenia Pitagorasa przekątne ścian bocznych są długości \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+h^2}}\). Stąd i z twierdzenia kosinusów wynika, że \(\displaystyle{ a^2=2(\sqrt{a^2+h^2})^2-2(\sqrt{a^2+h^2})^2\cos\alpha=2(a^2+h^2)(1-\cos\alpha)}\). Wystarczy z powyższej zależności wyznaczyć \(\displaystyle{ a^2}\) (nawet nie samo \(\displaystyle{ a}\)), a następnie ze wzoru na pole trójkąta równobocznego znaleźć objętość graniastosłupa: \(\displaystyle{ V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h}\).
ODPOWIEDZ