pole bryły

[asiula0321]

Trójkat prostokątny o przyprostokatnych 10 i 24 obraca się wokół prostej zawierającej przeciwprostokątną. Oblicz objętośc i pole powstałej bryły.

[Pancernik]

Oznaczenia:
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość figury
\(\displaystyle{ H_1}\) - wysokość mniejszego stożka
\(\displaystyle{ H_2}\) - wysokość większego stożka
\(\displaystyle{ l_1}\) - tworząca mniejszego stożka oraz przyprostokątna trójkąta
\(\displaystyle{ l_2}\) - tworząca większego stożka oraz przyprostokątna trójkąta
\(\displaystyle{ r}\) - promień stożków
\(\displaystyle{ P_t}\) - pole trójkąta prostokątnego
\(\displaystyle{ P_1}\) - pole mniejszego stożka bez podstawy
\(\displaystyle{ P_2}\) - pole większego stożka bez podstawy
\(\displaystyle{ P}\) - pole figury
\(\displaystyle{ V_2}\) - objętość większego stożka
\(\displaystyle{ V}\) - objętość figury

Obliczenia:

\(\displaystyle{ H= \sqrt{l_1^2+l_2^2} = \sqrt{10^2+24^2}= \sqrt{676}=26\\
P_t= \frac{1}{2} l_1l_2=120\\
P_t=\frac{1}{2}Hr\\
120=13r\\
r= \frac{120}{13}\\
H_1= \sqrt{l_1^2-r^2}= \sqrt{10^2- \left( \frac{120}{13}\right)^2}= \frac{50}{13}\\
H_2= \sqrt{l_2^2-r^2}= \sqrt{24^2- \left( \frac{120}{13}\right)^2}= \frac{288}{13}\\
V_1= \frac{1}{3}\pi r^2H_1= \frac{1}{3}\pi \cdot \left( \frac{120}{13}\right) ^2 \cdot \frac{50}{13}=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{14400}{169} \cdot \frac{50}{13}=\frac{240000}{2197}\pi\\
V_2= \frac{1}{3}\pi r^2H_2= \frac{1}{3}\pi \cdot \left( \frac{120}{13}\right) ^2 \cdot \frac{288}{13}=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{14400}{169} \cdot \frac{288}{13}=\frac{1382400}{2197}\pi\\
V=V_1+V_2= \frac{240000}{2197}\pi +\frac{1382400}{2197}\pi = \frac{1900}{13}\pi\\
P_1=\pi rl_1=\frac{120}{13} \cdot 10\pi =\frac{1200}{13}\pi\\
P_2=\pi rl_2=\frac{120}{13} \cdot 24\pi =\frac{2880}{13}\pi\\
P=P_1+P_2=\frac{1200}{13}\pi +\frac{2880}{13}\pi = \frac{4080}{13}\pi}\)