stosunek pól powierzchni.
- Nex Vaclav Friedrich
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oświęcim
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 9 razy
stosunek pól powierzchni.
???
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2010, o 23:40 przez Nex Vaclav Friedrich, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 343
- Rejestracja: 12 paź 2007, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piastów /Warszawa
- Pomógł: 64 razy
stosunek pól powierzchni.
Przyjmijmy bez straty ogólności że \(\displaystyle{ a \le b \le c}\) mamy 3 różne ściany a co za tym idzie 3 możliwości sklejenia, intuicja podpowiada że pole będzie największe gdy skleimy ścianami axb a najmniejsze gdy bxc ale trzeba napisać wzory na te PP
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
stosunek pól powierzchni.
Niech polami ścian bocznych prostopadłościanu będą \(\displaystyle{ x,y,z}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 < x \leq y \leq z}\). Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ P_0= 4(x+y+z)-x}\) oraz \(\displaystyle{ P_1= 4(x+y+z)-z}\). Pokażemy, że:
\(\displaystyle{ 1 \leq \frac{4(x+y+z)-x}{4(x+y+z)-z} < \frac{4}{3}}\)
Lewa nierówność jest oczywista i oczywiste jest też, że nie można jej poprawić (dla sześcianu jedynka jest osiągana). Prawa nierówność też jest łatwa, nieoczywiste jest tylko to, że jest ona optymalna, to znaczy, że istotnie rzeczony stosunek pól może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\). Zauważmy jednak, że dla prostopadłościanów o wymiarach \(\displaystyle{ n^2 \times \frac{1}{n} \times \frac{1}{n^3}}\) rzeczony stosunek dąży do \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), co oznacza, że rzeczony stosunek może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\), więc lepiej oszacować się nie da.
Q.
\(\displaystyle{ 1 \leq \frac{4(x+y+z)-x}{4(x+y+z)-z} < \frac{4}{3}}\)
Lewa nierówność jest oczywista i oczywiste jest też, że nie można jej poprawić (dla sześcianu jedynka jest osiągana). Prawa nierówność też jest łatwa, nieoczywiste jest tylko to, że jest ona optymalna, to znaczy, że istotnie rzeczony stosunek pól może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\). Zauważmy jednak, że dla prostopadłościanów o wymiarach \(\displaystyle{ n^2 \times \frac{1}{n} \times \frac{1}{n^3}}\) rzeczony stosunek dąży do \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), co oznacza, że rzeczony stosunek może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\), więc lepiej oszacować się nie da.
Q.