pole graniastosłupa

[kolka6]

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30. Oblicz pole całkowite graniastosłupa wiedząc, że ma on wysokość 6cm.

[lukasz1804]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a}\) długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Zauważmy, że przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątnymi są przekątna podstawy (długości \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)) oraz wysokość graniastosłupa (długości 6 cm). Co więcej, kąt między przekątną podstawy a przekątną graniastosłupa ma miarę \(\displaystyle{ 30^o}\). Zatem z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}=\tg 30^o=\frac{6\ cm}{a\sqrt{2}}}\), skąd dostajemy \(\displaystyle{ a=3\sqrt{6}\ cm}\). Zatem ze wzoru na pole prostokąta otrzymujemy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa: \(\displaystyle{ P=2a^2+4a\cdot 6\ cm=108\ cm^2+72\sqrt{6}\ cm^2=36(3+2\sqrt{6})\ cm^2}\).