Dany jest sześcian \(\displaystyle{ ABCDA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}\)o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany \(\displaystyle{ DD _{1} C _{1} C}\), a punkt M - środkiem ściany\(\displaystyle{ A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}\)
a) Znajdź długość odcinka AK
b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i AM
długość odcinka w sześcianie i cos kąta
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
długość odcinka w sześcianie i cos kąta
a) Ponieważ \(\displaystyle{ AD\perp DK}\) oraz \(\displaystyle{ |DK|=\frac{a\sqrt{2}}{2}, |AD|=a}\), to z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ |AK|=\sqrt{|AD|^2+|DK|^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}}\).
Podobnie można wykazać, że \(\displaystyle{ |AM|=\sqrt{|AA_1|^2+|A_1M|^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}}\).
b) Z twierdzenia Pitagorasa mamy ponadto \(\displaystyle{ |KM|=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha=\angle(\overline{AK},\overline{AM})}\). Korzystając teraz z części a) oraz z twierdzenia kosinusów dostajemy \(\displaystyle{ \frac{a^2}{2}=|KM|^2=|AK|^2+|AM|^2-2|AK||AM|\cos\alpha=3a^2-\frac{9}{2}a^2\cos\alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{5}{9}}\).
Podobnie można wykazać, że \(\displaystyle{ |AM|=\sqrt{|AA_1|^2+|A_1M|^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}}\).
b) Z twierdzenia Pitagorasa mamy ponadto \(\displaystyle{ |KM|=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha=\angle(\overline{AK},\overline{AM})}\). Korzystając teraz z części a) oraz z twierdzenia kosinusów dostajemy \(\displaystyle{ \frac{a^2}{2}=|KM|^2=|AK|^2+|AM|^2-2|AK||AM|\cos\alpha=3a^2-\frac{9}{2}a^2\cos\alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{5}{9}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 318
- Rejestracja: 14 lis 2008, o 21:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 71 razy