długość odcinka w sześcianie i cos kąta

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
ancia_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 22 mar 2009, o 21:17
Płeć: Kobieta
Podziękował: 25 razy

długość odcinka w sześcianie i cos kąta

Post autor: ancia_91 »

Dany jest sześcian \(\displaystyle{ ABCDA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}\)o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany \(\displaystyle{ DD _{1} C _{1} C}\), a punkt M - środkiem ściany\(\displaystyle{ A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}\)
a) Znajdź długość odcinka AK
b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i AM
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

długość odcinka w sześcianie i cos kąta

Post autor: lukasz1804 »

a) Ponieważ \(\displaystyle{ AD\perp DK}\) oraz \(\displaystyle{ |DK|=\frac{a\sqrt{2}}{2}, |AD|=a}\), to z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ |AK|=\sqrt{|AD|^2+|DK|^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}}\).

Podobnie można wykazać, że \(\displaystyle{ |AM|=\sqrt{|AA_1|^2+|A_1M|^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}}\).

b) Z twierdzenia Pitagorasa mamy ponadto \(\displaystyle{ |KM|=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha=\angle(\overline{AK},\overline{AM})}\). Korzystając teraz z części a) oraz z twierdzenia kosinusów dostajemy \(\displaystyle{ \frac{a^2}{2}=|KM|^2=|AK|^2+|AM|^2-2|AK||AM|\cos\alpha=3a^2-\frac{9}{2}a^2\cos\alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{5}{9}}\).
mycha-mycha1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 14 lis 2008, o 21:42
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 71 razy

długość odcinka w sześcianie i cos kąta

Post autor: mycha-mycha1 »

w odpowiedzi \(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{5}{6 }}\)
ODPOWIEDZ