objętość ostrosłupa

sławek1988 · Post autor: **sławek1988** » 5 paź 2006, o 15:47

długość wysokośći ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa długości promienia okręgu opisanego na podstawie. Pole ściany bocznej jest równe \(\displaystyle{ 18\sqrt{3}}\)
NO i mam policzyć objętość tego ostrosłupa.

baksio · Post autor: **baksio** » 5 paź 2006, o 18:23

Zauważ, że w podstawię bedzie kwadrat a promień okręgu opisanego na kwadracie wynosi \(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}d}\). Potem wykorzystaj trójkąt prostokątny którego bokami będa \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ r}\) i krawędź boczna ostrosłupa. Policzysz krawędź boczną ostrosłupa a w treści zadania pisze że jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny więc ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Mam nadzieję że już teraz sobie poradzisz.

sławek1988 · Post autor: **sławek1988** » 5 paź 2006, o 19:06

a mógłbyś ciut więcej napisać? bo troche jak dla mnie szybko przeskakujesz ;p

baksio · Post autor: **baksio** » 5 paź 2006, o 19:46

oznacz sobie krawędz podstawy jako \(\displaystyle{ a}\), czyli \(\displaystyle{ P_{p}=a^2}\) Teraz można wyliczyć wysokośc ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) Wiemy, że promien okręgu opisanego na kwadracie wynosi \(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}d}\) a przekątna kwadratu wynosi \(\displaystyle{ d=a sqrt{2}}\) czyli \(\displaystyle{ r=\frac{a sqrt{2}}{2}}\) Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ H=r}\) więc \(\displaystyle{ H=\frac{a sqrt{2}}{2}}\). Objętośc obliczymy ze wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p}*H=\frac{1}{3}a^2*\frac{a sqrt{2}}{2}=\frac{a^3 sqrt{2}}{6}}\)
Musimy teraz tylko policzyć \(\displaystyle{ a}\). W ostrosłupie mamy trójkąt który tworzą wysokośc ostrosłupa \(\displaystyle{ H=\frac{a sqrt{2}}{2}}\), promien koła opisanego na kwadracie \(\displaystyle{ r=\frac{a sqrt{2}}{2}}\) i krawędź boczna. Z tego trójkąta za pomoca twierdzenia Pitagorasa wyliczymy krawędź boczną \(\displaystyle{ b}\). Wychodzi nam że \(\displaystyle{ b=a}\). Więc ścianą boczną jest trójkąt równoboczny. Znamy pole tego trójkąta więc podstawiamy do wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{a^2 sqrt{3}}{4}=18sqrt{3}}\). Z tego równania wychodzi nam że \(\displaystyle{ a=6 sqrt{2}}\) Teraz podstawiamy do wzoru i wychodzi nam objętość.