Kulę przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami

[azusia]

Kulę przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami odległymi o \(\displaystyle{ 8}\) w ten sposób, że środek kuli leży miedzy nimi. Pola otrzymanych przekrojów są równe odpowiednio \(\displaystyle{ 9\pi}\) i \(\displaystyle{ 25\pi}\). Oblicz promień tej kuli.

[lukasz1804]

Promienie przekrojów wynoszą oczywiście \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 5}\). Prowadząc przez środek kuli prostopadły do danych przekrojów odcinek je łączący oraz po jednym promieniu kuli do punktu styczności każdego z przekrojów ze sferą ograniczającą tę kulę, otrzymujemy trójkąty prostokątne. Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ 8=\sqrt{r^2-3^2}+\sqrt{r^2-5^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest długością promienia kuli. Zatem \(\displaystyle{ 8-\sqrt{r^2-3^2}=\sqrt{r^2-5^2}}\), skąd mamy \(\displaystyle{ 64-16\sqrt{r^2-9}+16=0}\), tj. \(\displaystyle{ \sqrt{r^2-9}=5}\). Wobec tego jest \(\displaystyle{ r^2=34}\), czyli \(\displaystyle{ r=\sqrt{34}}\).

[azusia]

Wszystko rozumiem tylko czemu promienie wynoszą 3 i 5?

[lukasz1804]

Płaszczyzny przekroju odcinają z kuli okręgi o takich promieniach.

[azusia]

Dziękuję już wszystko rozumiem