Środkowe trójkąta w układzie współrzędnych

[keithflint]

Przeczytałem notatki z wykładów i ćwiczeń, cały dział z podręcznika... po parę razy. Na tym zadaniu się zaciąłem. Z góry wielkie, wielkie dzięki za pomoc.

Treść zadania:
Znaleźć kąt między środkowymi trójkąta o wierzchołkach
\(\displaystyle{ (-6,-4,0) \,\ (2,2,2) \,\ (2,4,0)}\)
zaczynającymi się w dwóch pierwszych z tych wierzchołków.

Zrobiłem to w taki sposób:
Wyliczyłem wektory AB i AC (współrzędne punktu końcowego odjąć współrzędne punktu początkowego), uzyskując AB = [8,6,2] i AC= [6,6,4].
Z sumy wektorów AB i AC podzielonej przez dwa otrzymałem wektor AP (od wierzchołka do środka przeciwległego boku) = [7,6,3]
W ten sam sposób wektory BA = [-8,-6,-2] i BC = [-2,0,-2]. (BA+BC)/2 = BQ (od wierzchołka do środka przeciwległego boku) = [-5,-3,0]
Używając jedynego wzoru z podręcznika na cosinus kąta między wektorami:
\(\displaystyle{ \frac{\vec{AP} \circ \vec{BQ}}{\vec{|AP|} \ \vec{|BQ|}}}\)
U góry iloczyn wektorowy, na dole iloczyn długości obu wektorów. Wyszło cos = -0,773084454.
Arccos = 140 stopni i 37 minut. (i to byłby mój kąt, tylko że...)

W odpowiedziach jest kąt 72 stopnie i 30 minut (cosinus kąta wynosi 0,3007).

[JankoS]

Jeżeli \(\displaystyle{ A=(-6,-4,0), \ B= (2,2,2), \ C=(2,4,0)}\) ( a na to wygląda z wyznaczonego przez Kolegę wektora AB), to wektory AC i BC są żle wyznaczone.
Ponadto w \(\displaystyle{ \frac{\vec{AP} \circ \vec{BQ}}{\vec{|AP|} \ \vec{|BQ|}}}\) licznikiem jest iloczyn skalarny, a nie iloczyn wektorowy.