Proste prostopadłe

[Ylime1991]

Dane są trzy wzajemne prostopadłe odcinki OA, OB, OC o długościach odpowiednio a, b, c. Obliczyć odległość punktu O od płaszczyzny trójkąta ABC.

[ReversedNabla]

Dla ułatwienia zadania wrzucamy odcinki w układ współrzędnych (x,y,z). Środek układu współrzędnych obieramy za punkt O. Można to zrobić bez wrzucania w układ rysując po prostu ostrosłup.

Wtedy punkty A,B,C to:
A = (a,0,0)
B = (0,b,0)
C = (0,0,c)

Tworzy nam się ostrosłup.
Biorąc za podstawę trójkąt OAB, i za wysokość OC. Obliczamy łatwo objętość.
\(\displaystyle{ V= \frac{abc}{6}}\)
Objętość można też policzyć obierając za podstawę trójkąt ABC, wtedy wysokością będzie szukaną odległością punktu O od płaszczyzny trójkąta ABC.

Trójkąt OAB:
Niech p = wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną. Długość przeciwprostokątnej obliczamy z tw. Pitagorasa i porównując pola:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ab=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}p}\)
Wyznaczając p:
\(\displaystyle{ p= \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)
Trójkąt ABC:
Niech r będzie wysokością w trójkącie ABC opuszczoną na bokach AB. Wtedy z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ r^2=c^2+p^2}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{c^2+ \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} }}\)

Możemy objętość teraz wyrazić jako:
\(\displaystyle{ V= \frac{d*|AB|*r}{6} = \frac{ d\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{c^2+ \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} }}{6}}\) gdzie d jest szukaną odległością

Porównując stronami liczniki (mianowniki są takie same):
\(\displaystyle{ d\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{c^2+ \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} }=abc}\)

\(\displaystyle{ d = \frac{abc}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{c^2+ \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}}}\)
Po kilku kosmetycznych przekształceniach:
\(\displaystyle{ d = \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}}}\)

Warto wspomnieć, że zadanie z finału konkursu PW - rok 2006.

[a4karo]

Albo prościej
płaszczyzna przechodząca przez te punkty ma równanie
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1}\) i wystarczy skorzystac ze wzoru na odległośc punktu ( w tym przypadku \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)) od płaszczyzny.