oblicz objętość i i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o wysokości 7, który w podstawie ma trójkąt o bokach równych 14, 10, 6.
z objętością nie mam problemu, korzystam z Hornera, z polem powierzchni całkowitej jest gorzej. czekam na wskazówki
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
Może wyznaczyć dwusieczne kątów i poprowadzić wysokość z przecięcia się tych prostych, a później skorzystać z wzoru na twierdzenie cosinusów
\(\displaystyle{ a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2}\)
\(\displaystyle{ \gamma}\) - kąt leżący naprzeciw boku c
Jeśli nie będziesz wiedzieć jak to rozwiązać to daj znać.
\(\displaystyle{ a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2}\)
\(\displaystyle{ \gamma}\) - kąt leżący naprzeciw boku c
Jeśli nie będziesz wiedzieć jak to rozwiązać to daj znać.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
niestety, ale nie bardzo rozumie. wiem, że wysokości w podstawie mogę policzyć (znam pole i boki). oglądałam wzory i rzeczywiście dałoby się policzyć dwusieczne ale jak by nawet, to nie wiem, co można dalej zrobić. co nam da twierdzenie cosinusów i kąt leżący naprzeciw boku c?
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
Sorki, to nie mały być dwusieczne tylko środkowe i barycentrum.
Z barycentrum jest poprowadzona wysokość.
Środkowe po przecięciu się w barycentrum dzielą się na \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) od podstawy i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) od wierzchołka.
Żeby lepiej zrozumieć moją myśl to zrób dokładny rysunek.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ a=6}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ b=10}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ c=14}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt leżący naprzeciw \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ \beta}\) - kąt leżący naprzeciw \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ \gamma}\) - kąt leżący naprzeciw \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ d}\) - środkowa dzieląca krawędź \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ e}\) - środkowa dzieląca krawędź \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ f}\) - środkowa dzieląca krawędź \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ H=7}\) - wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ h_a}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ h_c}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu
\(\displaystyle{ P_p}\) - pole podstawy
\(\displaystyle{ P_a}\) - pole boku o podstawie \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ P_b}\) - pole boku o podstawie \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ P_c}\) - pole boku o podstawie \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ P_o}\) - pole ostrosłupa
\(\displaystyle{ V}\) - objętość ostrosłupa
\(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}\\
p=\frac{6+10+14}{2}=15\\
P_p=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\\
P_p=\sqrt{15\left(15-6\right)\left(15-10\right)\left(15-14\right)}=\sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5}=15 \sqrt{3}\\
V=P_pH\\
V=15 \sqrt{3} \cdot 7= 105\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2\\
6^2+10^2-2 \cdot 6 \cdot 10\cos\gamma=14^2\\
136-120\cos\gamma=196\\
-120\cos\gamma=60\\
\cos\gamma=- \frac{1}{2} \\
\gamma\approx 120^\circ\\
b^2+c^2-2bc\cos\alpha=a^2\\
10^2+14^2-2 \cdot 10 \cdot 14\cos\alpha=6^2\\
296-280\cos\alpha=36\\
-280\cos\alpha=-260\\
\cos\aplha=\frac{13}{14} \approx 0,9285 \\
\alpha\approx 22^\circ\\
a^2+c^2-2ac\cos\beta=b^2\\
6^2+14^2-2 \cdot 6 \cdot 14\cos\beta=10^2\\
232-168\cos\beta=100\\
-168\cos\beta=-132\\
\cos\beta=\frac{11}{14} \approx 0,7857\\
\beta\approx 38^\circ\\}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2-2 \frac{a}{2} b\cos\gamma=d^2\\
\frac{a^2}{4}+b^2-ab\cos\gamma=d^2\\
\frac{6^2}{4}+10^2-6 \cdot 10 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) =d^2\\
9+100+30 =d^2\\
d= \sqrt{139} \\
\frac{b^2}{4}+c^2-bc\cos\alpha=e^2\\
\frac{10^2}{4}+14^2-10 \cdot 14 \cdot \frac{13}{14}=e^2\\
25+196-130 =e^2\\
e= \sqrt{91} \\
\frac{c^2}{4}+a^2-ac\cos\alpha=f^2\\
\frac{14^2}{4}+6^2-6 \cdot 14 \cdot \frac{11}{14}=f^2\\
49+36-66 =f^2\\
f= \sqrt{19}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{d}{3}\right) ^2+H^2 =h_a^2\\
\left( \frac{\sqrt{139}}{3}\right) ^2+7^2 =h_a^2\\
\frac{139}{9}+49 =h_a^2\\
\frac{580}{9}= h_a^2\\
h_a= \frac{2\sqrt{145}}{3}\\
\left( \frac{e}{3}\right) ^2+H^2 =h_b^2\\
\left( \frac{\sqrt{91}}{3}\right) ^2+7^2 =h_b^2\\
\frac{91}{9}+49 =h_b^2\\
\frac{532}{9}= h_b^2\\
h_b= \frac{2\sqrt{133}}{3}\\
\left( \frac{f}{3}\right) ^2+H^2 =h_c^2\\
\left( \frac{\sqrt{19}}{3}\right) ^2+7^2 =h_c^2\\
\frac{19}{9}+49 =h_c^2\\
\frac{460}{9}= h_c^2\\
h_c= \frac{2\sqrt{115}}{3}}\)
\(\displaystyle{ P_a= \frac{ah_a}{2}\\
P_a= \frac{6 \cdot \frac{2\sqrt{145}}{3}}{2}\\
P_a=2\sqrt{145}\\
P_b= \frac{bh_b}{2}\\
P_b= \frac{10 \cdot \frac{2\sqrt{133}}{3}}{2}\\
P_b=\frac{10\sqrt{133}}{3}\\
P_c= \frac{ch_c}{2}\\
P_c= \frac{14 \cdot \frac{2\sqrt{115}}{3}}{2}\\
P_c=\frac{14\sqrt{115}}{3}\\}\)
\(\displaystyle{ P_o=P_a+P_b+P_c\\
P_o=2\sqrt{145}+\frac{10\sqrt{133}}{3}+\frac{14\sqrt{115}}{3}\\
P_o= \frac{6\sqrt{145}+10\sqrt{133}+14\sqrt{115}}{3}\\
P_o= \frac{2}{3} \left( 3\sqrt{145}+5\sqrt{133}+7\sqrt{115}\right)}\)
Mam nadzieje że się nie pomyliłem w obliczeniach
Z barycentrum jest poprowadzona wysokość.
Środkowe po przecięciu się w barycentrum dzielą się na \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) od podstawy i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) od wierzchołka.
Żeby lepiej zrozumieć moją myśl to zrób dokładny rysunek.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ a=6}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ b=10}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ c=14}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt leżący naprzeciw \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ \beta}\) - kąt leżący naprzeciw \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ \gamma}\) - kąt leżący naprzeciw \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ d}\) - środkowa dzieląca krawędź \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ e}\) - środkowa dzieląca krawędź \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ f}\) - środkowa dzieląca krawędź \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ H=7}\) - wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ h_a}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ h_c}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu
\(\displaystyle{ P_p}\) - pole podstawy
\(\displaystyle{ P_a}\) - pole boku o podstawie \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ P_b}\) - pole boku o podstawie \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ P_c}\) - pole boku o podstawie \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ P_o}\) - pole ostrosłupa
\(\displaystyle{ V}\) - objętość ostrosłupa
\(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}\\
p=\frac{6+10+14}{2}=15\\
P_p=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\\
P_p=\sqrt{15\left(15-6\right)\left(15-10\right)\left(15-14\right)}=\sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5}=15 \sqrt{3}\\
V=P_pH\\
V=15 \sqrt{3} \cdot 7= 105\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2\\
6^2+10^2-2 \cdot 6 \cdot 10\cos\gamma=14^2\\
136-120\cos\gamma=196\\
-120\cos\gamma=60\\
\cos\gamma=- \frac{1}{2} \\
\gamma\approx 120^\circ\\
b^2+c^2-2bc\cos\alpha=a^2\\
10^2+14^2-2 \cdot 10 \cdot 14\cos\alpha=6^2\\
296-280\cos\alpha=36\\
-280\cos\alpha=-260\\
\cos\aplha=\frac{13}{14} \approx 0,9285 \\
\alpha\approx 22^\circ\\
a^2+c^2-2ac\cos\beta=b^2\\
6^2+14^2-2 \cdot 6 \cdot 14\cos\beta=10^2\\
232-168\cos\beta=100\\
-168\cos\beta=-132\\
\cos\beta=\frac{11}{14} \approx 0,7857\\
\beta\approx 38^\circ\\}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2-2 \frac{a}{2} b\cos\gamma=d^2\\
\frac{a^2}{4}+b^2-ab\cos\gamma=d^2\\
\frac{6^2}{4}+10^2-6 \cdot 10 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) =d^2\\
9+100+30 =d^2\\
d= \sqrt{139} \\
\frac{b^2}{4}+c^2-bc\cos\alpha=e^2\\
\frac{10^2}{4}+14^2-10 \cdot 14 \cdot \frac{13}{14}=e^2\\
25+196-130 =e^2\\
e= \sqrt{91} \\
\frac{c^2}{4}+a^2-ac\cos\alpha=f^2\\
\frac{14^2}{4}+6^2-6 \cdot 14 \cdot \frac{11}{14}=f^2\\
49+36-66 =f^2\\
f= \sqrt{19}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{d}{3}\right) ^2+H^2 =h_a^2\\
\left( \frac{\sqrt{139}}{3}\right) ^2+7^2 =h_a^2\\
\frac{139}{9}+49 =h_a^2\\
\frac{580}{9}= h_a^2\\
h_a= \frac{2\sqrt{145}}{3}\\
\left( \frac{e}{3}\right) ^2+H^2 =h_b^2\\
\left( \frac{\sqrt{91}}{3}\right) ^2+7^2 =h_b^2\\
\frac{91}{9}+49 =h_b^2\\
\frac{532}{9}= h_b^2\\
h_b= \frac{2\sqrt{133}}{3}\\
\left( \frac{f}{3}\right) ^2+H^2 =h_c^2\\
\left( \frac{\sqrt{19}}{3}\right) ^2+7^2 =h_c^2\\
\frac{19}{9}+49 =h_c^2\\
\frac{460}{9}= h_c^2\\
h_c= \frac{2\sqrt{115}}{3}}\)
\(\displaystyle{ P_a= \frac{ah_a}{2}\\
P_a= \frac{6 \cdot \frac{2\sqrt{145}}{3}}{2}\\
P_a=2\sqrt{145}\\
P_b= \frac{bh_b}{2}\\
P_b= \frac{10 \cdot \frac{2\sqrt{133}}{3}}{2}\\
P_b=\frac{10\sqrt{133}}{3}\\
P_c= \frac{ch_c}{2}\\
P_c= \frac{14 \cdot \frac{2\sqrt{115}}{3}}{2}\\
P_c=\frac{14\sqrt{115}}{3}\\}\)
\(\displaystyle{ P_o=P_a+P_b+P_c\\
P_o=2\sqrt{145}+\frac{10\sqrt{133}}{3}+\frac{14\sqrt{115}}{3}\\
P_o= \frac{6\sqrt{145}+10\sqrt{133}+14\sqrt{115}}{3}\\
P_o= \frac{2}{3} \left( 3\sqrt{145}+5\sqrt{133}+7\sqrt{115}\right)}\)
Mam nadzieje że się nie pomyliłem w obliczeniach