Witam. Mam problem z zadaniem, w którym mam uzasadnić że istnieje tylko 5 wielościanów foremnych. Zadanie brzmi następująco:
Wykorzystując wzór Eulera w-k+s=2 podający zależność pomiędzy liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian w wielościanie wypukłym udowodnij, że istnieje tylko pięć wielościanów foremnych.
PODPOWIEDŹ: Oznacz przez p liczbę krawędzi ściany, a przez q liczbę ścian spotykających się w wierzchołku. Udowodnij tożsamość ps=2k=qw i wykorzystując wzór Eulera sprawdź jakie wartości mogą przyjmować p,q .
Wiem, że zadanie nie jest trudne (mając jeszcze podpowiedź) , ale dopiero zaczynam poznawać bryły, stąd wziął się problem ze zrobieniem tego zadania.
Liczę na szybką odpowiedź i z góry dziękuję.
Najpierw uzasadniasz zależność \(\displaystyle{ ps=2k}\). Otóż mnożąc liczbę krawędzi ściany przez liczbę ścian, otrzymamy podwojoną ilość krawędzi całej bryły (bo każda z krawędzi przypisana jest do dwóch różnych ścian - myślę, że to dosyć zrozumiałe uzasadnienie).
Teraz uzasadniasz zależność \(\displaystyle{ 2k=qw}\). W każdym wierzchołku spotyka się tyle ścian, ile krawędzi. Każda krawędź jest przypisana do dwóch wierzchołków (które są jej końcami). Dlatego też iloczyn liczby wierzchołków przez liczbę ścian spotykających się w jednym wierzchołku wyraża podwojoną liczbę krawędzi (znów każdą krawędź liczymy dwukrotnie).
