Oblicz objętość prostopadłościanu

[BabaJaga]

Wysokość prostopadłościanu ABCDA'B'C'D' równa jest 4. Kąt nachylenia przekątnej AD' ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ABCD jest równy \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\), a kąt nachylenia przekątnej AC' prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy ABCD jest równy \(\displaystyle{ 45 ^{o}}\). Znajdź objętość prostopadłościanu.

[Goju]

Z Pitagorasa wiadomo że jedna krawędź wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\) a druga \(\displaystyle{ 4}\). A objętość wiadomo jak obliczyć

[BabaJaga]

z moich obliczeń wynika że przekątna podstawy wynosi 4 to krawędź musi być chyba mniejsza...pomocy;/

[Goju]

Tak, oczywiście masz rację, przepraszam za pomyłkę.

-- 27 lutego 2010, 20:27 --

A druga z przekątnych wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{ \sqrt{3} }}\), ponieważ:
wzór na wysokość w trójkącie równobocznym wynosi \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\).
A tutaj mamy "pół" takiego trójkąta więc wysokość wynosi \(\displaystyle{ 4}\) a podstawa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\) czyli:

\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} = 4}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{3} =8}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{8}{ \sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a = \frac{4}{ \sqrt{3} }}\)

-- 27 lutego 2010, 20:30 --

Drugą z krawędzi możemy obliczyć z Pitagorasa: \(\displaystyle{ ( \frac{4}{ \sqrt{3} })^{2} + x^{2} = 4^{2}}\)
\(\displaystyle{ 5 \frac{1}{3} + x^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=10 \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{4 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }}\)

-- 27 lutego 2010, 20:31 --

A więc objętość:

\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{2} }{ \sqrt{3}} \cdot \frac{4}{ \sqrt{3} } \cdot 4= \frac{64 \sqrt{2} }{3}}\)

-- 27 lutego 2010, 20:31 --

Mam nadzieję że pomogłem

[BabaJaga]

w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{64 \sqrt{2} }{3}}\)