Sześcian, przekątne sąsiednich ścian

[maciex91]

Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu (przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AE|:|EB|=|DF|:|FC|=2:1. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD.
Wskazówka: wykaż, że odcinek EF jest wysokością trójkąta CED

[Tomas_91]

Przyłączam się do prośby kolegi aby ktoś pomógł z tym zadaniem
Nie mogę rozkminić jak to zrobić. Zatrzymałem się na etpie wypisania danych.

[papiozo]

Ktoś ma jakiś pomysł? :>

[lesniewicz]

przyjmij za krawędź sześcianu 1, będzie prościej liczyć
z tw. Pitagorasa policz \(\displaystyle{ |ED|}\)
z tw. cosinusów \(\displaystyle{ |EC|}\)
policz z tw. cosinusów \(\displaystyle{ \cos \angle DCE}\)
popraw znowu cosinusem
i na koniec potwierdź Pitagorasem

[AnimalHuman]

No to tak. Po pierwsze rysunek nie jest szałowy i jest w paincie, ale jakoś sobie pomóc musiałem ;P

AU

aytu01.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 272 razy

Z twierdzenia o trzech prostopadłych:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABD = 90^{\circ}}\)

Z treści zadania wiadomo, że punkt E dzieli przekątną |AB| w stosunku 2:1, więc rzut punktu E - punkt G dzieli podstawe też tym stosunku, więc

\(\displaystyle{ |GB| = \frac{1}{3}a}\)

i tak samo

\(\displaystyle{ |EG| = \frac{1}{3}a}\)

Więc z tw. Pitagorasa

\(\displaystyle{ |EB| = \frac{a\sqrt{2}}{3}}\)

Z trójkąta EBD i z twierdzenia Pitagorasa mamy:

\(\displaystyle{ |ED| = \sqrt{a^{2} +\frac{2}{9}a^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{3}a}\)

Długość przekątnej CD

\(\displaystyle{ |CD|= a\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |FD| = \frac{2}{3}a\sqrt{2}}\)

Następnie wyznaczamy długość odcinka EF

\(\displaystyle{ |HB| = \frac{a}{3}}\)

więc

\(\displaystyle{ |HG| = \frac{a\sqrt{2}}{3}}\)

Figura EGHI to prostokąt, więc \(\displaystyle{ |EI| = |HG|}\)

\(\displaystyle{ |FH| = \frac{2}{3}a}\)

\(\displaystyle{ |FH| = |FI| + |IH|}\)

Natomiast \(\displaystyle{ |IH| = |EG| = \frac{a}{3}}\)

Zatem \(\displaystyle{ |FI| = \frac{2}{3}a - \frac{a}{3} = \frac{a}{3}}\)

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta EFI wynika, że

\(\displaystyle{ |EF| = \sqrt{\frac{2a^{2}}{9}+ \frac{a^{2}}{9}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}}\)

Teraz wystarczy już tylko zastosować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli \(\displaystyle{ |EF|^{2} + |FD|^{2} = |ED|^{2}}\), to \(\displaystyle{ \sphericalangle EFD = 90^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{3} + \frac{8a^{2}}{9}= \frac{11a^{2}}{9}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle EFD = 90^{\circ}}\)

Co kończy dowód.