Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu (przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AE|:|EB|=|DF|:|FC|=2:1. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD.
Wskazówka: wykaż, że odcinek EF jest wysokością trójkąta CED
Sześcian, przekątne sąsiednich ścian
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 15 lut 2010, o 13:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 4 razy
Sześcian, przekątne sąsiednich ścian
Przyłączam się do prośby kolegi aby ktoś pomógł z tym zadaniem
Nie mogę rozkminić jak to zrobić. Zatrzymałem się na etpie wypisania danych.
Nie mogę rozkminić jak to zrobić. Zatrzymałem się na etpie wypisania danych.
- lesniewicz
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 22 mar 2010, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: suburbia
- Podziękował: 2 razy
Sześcian, przekątne sąsiednich ścian
przyjmij za krawędź sześcianu 1, będzie prościej liczyć
z tw. Pitagorasa policz \(\displaystyle{ |ED|}\)
z tw. cosinusów \(\displaystyle{ |EC|}\)
policz z tw. cosinusów \(\displaystyle{ \cos \angle DCE}\)
popraw znowu cosinusem
i na koniec potwierdź Pitagorasem
z tw. Pitagorasa policz \(\displaystyle{ |ED|}\)
z tw. cosinusów \(\displaystyle{ |EC|}\)
policz z tw. cosinusów \(\displaystyle{ \cos \angle DCE}\)
popraw znowu cosinusem
i na koniec potwierdź Pitagorasem
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Myszków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
Sześcian, przekątne sąsiednich ścian
No to tak. Po pierwsze rysunek nie jest szałowy i jest w paincie, ale jakoś sobie pomóc musiałem ;P
Z twierdzenia o trzech prostopadłych:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABD = 90^{\circ}}\)
Z treści zadania wiadomo, że punkt E dzieli przekątną |AB| w stosunku 2:1, więc rzut punktu E - punkt G dzieli podstawe też tym stosunku, więc
\(\displaystyle{ |GB| = \frac{1}{3}a}\)
i tak samo
\(\displaystyle{ |EG| = \frac{1}{3}a}\)
Więc z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ |EB| = \frac{a\sqrt{2}}{3}}\)
Z trójkąta EBD i z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ |ED| = \sqrt{a^{2} +\frac{2}{9}a^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{3}a}\)
Długość przekątnej CD
\(\displaystyle{ |CD|= a\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |FD| = \frac{2}{3}a\sqrt{2}}\)
Następnie wyznaczamy długość odcinka EF
\(\displaystyle{ |HB| = \frac{a}{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ |HG| = \frac{a\sqrt{2}}{3}}\)
Figura EGHI to prostokąt, więc \(\displaystyle{ |EI| = |HG|}\)
\(\displaystyle{ |FH| = \frac{2}{3}a}\)
\(\displaystyle{ |FH| = |FI| + |IH|}\)
Natomiast \(\displaystyle{ |IH| = |EG| = \frac{a}{3}}\)
Zatem \(\displaystyle{ |FI| = \frac{2}{3}a - \frac{a}{3} = \frac{a}{3}}\)
Z tw. Pitagorasa dla trójkąta EFI wynika, że
\(\displaystyle{ |EF| = \sqrt{\frac{2a^{2}}{9}+ \frac{a^{2}}{9}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}}\)
Teraz wystarczy już tylko zastosować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Jeśli \(\displaystyle{ |EF|^{2} + |FD|^{2} = |ED|^{2}}\), to \(\displaystyle{ \sphericalangle EFD = 90^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{3} + \frac{8a^{2}}{9}= \frac{11a^{2}}{9}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle EFD = 90^{\circ}}\)
Co kończy dowód.
Z twierdzenia o trzech prostopadłych:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABD = 90^{\circ}}\)
Z treści zadania wiadomo, że punkt E dzieli przekątną |AB| w stosunku 2:1, więc rzut punktu E - punkt G dzieli podstawe też tym stosunku, więc
\(\displaystyle{ |GB| = \frac{1}{3}a}\)
i tak samo
\(\displaystyle{ |EG| = \frac{1}{3}a}\)
Więc z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ |EB| = \frac{a\sqrt{2}}{3}}\)
Z trójkąta EBD i z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ |ED| = \sqrt{a^{2} +\frac{2}{9}a^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{3}a}\)
Długość przekątnej CD
\(\displaystyle{ |CD|= a\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |FD| = \frac{2}{3}a\sqrt{2}}\)
Następnie wyznaczamy długość odcinka EF
\(\displaystyle{ |HB| = \frac{a}{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ |HG| = \frac{a\sqrt{2}}{3}}\)
Figura EGHI to prostokąt, więc \(\displaystyle{ |EI| = |HG|}\)
\(\displaystyle{ |FH| = \frac{2}{3}a}\)
\(\displaystyle{ |FH| = |FI| + |IH|}\)
Natomiast \(\displaystyle{ |IH| = |EG| = \frac{a}{3}}\)
Zatem \(\displaystyle{ |FI| = \frac{2}{3}a - \frac{a}{3} = \frac{a}{3}}\)
Z tw. Pitagorasa dla trójkąta EFI wynika, że
\(\displaystyle{ |EF| = \sqrt{\frac{2a^{2}}{9}+ \frac{a^{2}}{9}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}}\)
Teraz wystarczy już tylko zastosować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Jeśli \(\displaystyle{ |EF|^{2} + |FD|^{2} = |ED|^{2}}\), to \(\displaystyle{ \sphericalangle EFD = 90^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{3} + \frac{8a^{2}}{9}= \frac{11a^{2}}{9}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle EFD = 90^{\circ}}\)
Co kończy dowód.