Witam,
Rozwiązywałem sobie zadania na maturę i niestety natrafiłem na problemy. Nie wiem jak rozwiązać niektóre zadania. Proszę o jakąkolwiek pomoc.
Będę niesamowicie wdzięczny!
Zad. 1
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) , dla którego \(\displaystyle{ cos \alpha=0,6}\). Wysokość ostrosłupa ma długość 12 cm. Wykaż, że \(\displaystyle{ \alpha \in (45stopni ,60stopni )}\)
Zad. 2
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12.
Wyznacz długości krawędzi graniastosłupa, dla których pole powierzchni całkowitej jest największe.
Zad. 3
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach ABC i odpowiednio \(\displaystyle{ A_{1} B_{1} C_{1}}\). Krawędź podstawy ma długość 4, a przekątna \(\displaystyle{ AC _{1}}\) ściany \(\displaystyle{ AA_{1} C_{1} C}\) jest nachylona do ściany \(\displaystyle{ AA_{1} B_{1} B}\) pod kątem ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) takim, że \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{4}}\).
a) sporządź rysunek graniastosłupa oraz zaznacz na nim kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
b_ Oblicz objętość graniastosłupa.
Zad.4
Wewnątrz czworościanu, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość, wybrano dowolnie punkt P. Wykaż, że suma odległości punktu P od wszystkich ścian bryły jest równa wysokości tego czworościanu.
Zad. 5
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC, w którym kąt ostry między ramionami AB i AC ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Ściana boczna BCS jest przystająca do trójkąta ABC i prostopadła do płaszczyzny podstawy. Wykaż, że krawędź BS tworzy z krawędzią AB kąt \(\displaystyle{ \beta}\) taki, że \(\displaystyle{ cos \beta =sin ^{2} \frac{ \alpha }{2}}\)