graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

[Mikiel]

Sprawdźcie czy dobrze jak macie chwilę.


1) Przekątna prostopadłościanu 3 x 4 x 5 ma długość:

\(\displaystyle{ 2\sqrt{5}}\)

Przyjąłem, że podstawa ma boki 3 x 4. Z pitagorasa wyliczamy przekątną(d)

\(\displaystyle{ d^{2} = 3^{2} + 4^{2}}\)

\(\displaystyle{ d = 5}\)

Przekątna podstawy i wysokość są przyprostokątnymi trójkąta, którego przeciwprostokątną jest przekątna o której długość pytają w zadaniu.

Stosujemy wzór na przekątną kwadratu:

\(\displaystyle{ d\sqrt{2} = p}\)

gdzie \(\displaystyle{ d}\) wcześniej wyliczyliśmy.

\(\displaystyle{ p = 5\sqrt{2}}\)

______________________________________

2. Pewien wielościan ma 6 krawędzi, ile ma ścian?
Odp. 4

______________________________________

3. Suma długości krawędzi sześcianu \(\displaystyle{ = 24}\). Oblicz obj. sześcianu.

sześcian ma 12 krawędzi. Krawędź \(\displaystyle{ (k) = 2.}\)

Wzór na objętość sześcianu to \(\displaystyle{ V = k^{3}}\)

Czyli \(\displaystyle{ V = 8}\)

______________________________________

4. Przekątna sześcianu(ps)\(\displaystyle{ = 3}\). Oblicz Pole powierzchni (PP)

Tak jak w pierwszym zadaniu, przekątna sześcianu musi być zbudowana z przekątnej podstawy i wysokości sześcianu. Oznaczmy krawędź sześcianu przez \(\displaystyle{ a}\).
Zatem:
Przekątna podstawy \(\displaystyle{ = a\sqrt{2}}\)

Następnie wykorzystujemy pitagorasa, aby obliczyć \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ ps^{2} = (a\sqrt{2})^{2} + a^{2}}\)

\(\displaystyle{ ps}\) mamy dane, więc:

\(\displaystyle{ 3^{2} = 3 a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a = \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ PP = 6 \cdot a^{2} = 6 \cdot 3 = 18}\)

_____________________________________

7. Przekątna sześcianu ma długość. Oblicz objętość (V)

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, obliczamy długość krawędzi sześcianu \(\displaystyle{ (a)}\).
\(\displaystyle{ a = \sqrt{ \frac{25}{3} }}\)

\(\displaystyle{ V = \frac{25}{3}\sqrt{ \frac{25}{3} }}\)

_____________________________________

8. Podstawą graniastosłupa jest romb, o boku \(\displaystyle{ a = 6cm}\) i kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha = 60}\). Wysokość graniastosłupa \(\displaystyle{ H = 4cm}\). Oblicz V graniast.

Liczymy pole podstawy:

\(\displaystyle{ PP = \frac{ a^{2} \cdot \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ PP = 18\sqrt{3}}\)
W ostateczności:
\(\displaystyle{ V = 4 \cdot 18\sqrt{3} = ...}\)

______________________________________

11. Podstawą graniastosłupa prostego jest kwadrat. Przekątna graniastosłupa\(\displaystyle{ (p)}\) \(\displaystyle{ = 2 dm}\) i tworzy z krawędzią podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha = 60}\) stopni. Oblicz objętość graniastosłupa.

Podobnie jak w poprzednich zadaniach wyliczmy długość krawędzi podstawy \(\displaystyle{ (a)}\). Z własności trójkąta równobocznego otrzymujemy następujące równanie:

PP - pole podstawy.
\(\displaystyle{ 2 dm = 2a\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{ \sqrt{2} }{2} dm}\)
\(\displaystyle{ PP = \frac{1}{2} dm^{2}}\)

Następnie opierając się na tym samym trójkącie równobocznym obliczmy wysokość (H) graniastosłupa

\(\displaystyle{ H = \sqrt{3} dm}\)
W ostateczności otrzymujemy \(\displaystyle{ V = PP * H}\)

\(\displaystyle{ V = \frac{ \sqrt{3} }{2} dm^{3}}\)

_________________________________

12. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny, którego podstawa \(\displaystyle{ (a)}\) ma długość \(\displaystyle{ 6cm}\) a wysokość \(\displaystyle{ (h)}\)\(\displaystyle{ 9 cm}\). Krawędzie boczne \(\displaystyle{ (k)}\) \(\displaystyle{ = 13 cm.}\). Oblicz H ostrosłupa.

Tu proszę o sprawdzenie, bo nie jestem pewny co do rozwiązania:

Wyliczam wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ (w)}\) \(\displaystyle{ 13 \times 13 \times 6}\) z pitagorasa:

\(\displaystyle{ w = 4\sqrt{10}}\)

Dzielę wysokość podstawy na :
\(\displaystyle{ n + (9-n)}\). Gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest odległością wierzchołka podstawy, do punktu "wbicia" się wysokości ostrosłupa. Przyjmujemy, że wierzchołkiem podstawy jest nazwany punkt przecięcia ramion tego trójkąta.

Z pitagorasa dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ H^{2} = (4\sqrt{10})^{2} - (9 - n)^{2}}\)
i
\(\displaystyle{ H^{2} = 13^{2} - n^{2}}\)

po obliczeniach:
\(\displaystyle{ n = 5 \frac{7}{18}}\)

No i tu właśnie się zacząłem zastanawiać czy dobrze robię. Gdby to było dobrze, to wyliczenie H, nie sprawiało by trudności bo

\(\displaystyle{ H^{2} = 13^{2} - n^{2}}\)

_______________________________

17. Wyznacz wysokość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego, którego krawędź podst. ma długość \(\displaystyle{ a}\) a pole powierzchni bocznej (PB) jest dwa razy większe od pola podstawy (PP).

\(\displaystyle{ PB = 2 PP}\)

Tak więc pole jednej ściany bocznej(PB1) jest:

\(\displaystyle{ PB1 = \frac{2}{3} PP}\)

\(\displaystyle{ PB1 = a * w}\)
w - wysokość ściany bocznej.
Z tego wynika, że :

\(\displaystyle{ a \cdot w = \frac{2}{3} \cdot \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ w = \frac{a\sqrt{3} }{3}}\)

Następnie z własności trójkąta równobocznego wiemy, że jego środek leży \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)\(\displaystyle{ h}\) od wierzchołka. Czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{3} h}\) od podstawy.

Kończymy więc zadanie stosując wzór pitagorasa:
H - wysokość ostrosłupa

\(\displaystyle{ H^{2} = ( \frac{ a\sqrt{3} }{3} )^{2} - ( \frac{1}{3} \cdot \frac{ a\sqrt{3} }{2} )^{2}}\)

Skąd \(\displaystyle{ H = \frac{1}{2} a}\)

_____________________________________
19.Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze \(\displaystyle{ 30}\) stopni. Oblicz \(\displaystyle{ V}\) ostrosłupa.

Wykorzystując wiedzę na temat trój. równobocz. Stwierdzamy, że długość krawędzi bocznej wynosi \(\displaystyle{ 12 cm}\), a połowa przekątnej podstawy wynosi \(\displaystyle{ 6\sqrt{3}}\)

Tak więc cała przekątna podstawy\(\displaystyle{ (p)}\) \(\displaystyle{ = 12\sqrt{3}}\) cm

\(\displaystyle{ a\sqrt{2} = p}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{ 12\sqrt{3} }{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ a = 6\sqrt{6}}\)cm
Polę podstawy\(\displaystyle{ (PP) =}\) \(\displaystyle{ 36 * 6}\)\(\displaystyle{ cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} PP * H}\)
\(\displaystyle{ V = 432 cm^{3}}\)

[wujomaro]

ZAd 1
\(\displaystyle{ D= \sqrt{a ^{2}+b ^{2} +c ^{2} }= \sqrt{50}=5 \sqrt{2}}\)
ZAd 3
Dobrze
ZAd 4
\(\displaystyle{ D=a \sqrt{3}=6}\)
\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P _{c}=6a ^{2}=72}\)
zAd 7
Fajnie, że podałeś długośćprzekątnej sześcianu...
Zad 8
Dobrze.
Pozdrawiam.
PS Fajne pare zadań...