Objętość i pole pow. bryły otrzymanej przez obrót trójkąta

Nelly91 · Post autor: **Nelly91** » 20 lut 2010, o 23:18

Witam. Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym kąt przy podstawie ma miarę \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\), a wysokość opuszczona na podstawę jest równa 1. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły otrzymanej przez obrót tego trójkąta wokół jego podstawy.

macpra · Post autor: **macpra** » 21 lut 2010, o 01:14

Otrzymana bryła to dwa stożki złączone podstawami. Promień każdego stożka wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Tworząca wynosi \(\displaystyle{ 2}\) - jest to długość ramienia początkowego trójkąta, wyliczona z \(\displaystyle{ sin30^\circ}\). Podstaw dane do wzorów - pamiętaj aby pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\) bo mamy dwa stożki.

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 21 lut 2010, o 01:21

postaną 2 stożki sklejone podstawami, których promień podstaw równy jest wysokości trójkata, torzące stożkó równe są długości ramion (b) tego trójkata a wysokości stożków równe są połowie długości podstawy trójkata (a).

\(\displaystyle{ h_{t} = r_{s} = 1}\)

\(\displaystyle{ sin30^o = \frac{h_{t}}{b}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{1}{b} \Rightarrow b=2}\)

\(\displaystyle{ b=l=2}\)

\(\displaystyle{ tg30^o = \frac{h_{t}}{ \frac{1}{2}a }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{1}{ \frac{1}{2}a } \Rightarrow a=2 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ h_{s}= a = 2 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ P_{p} = 2 \cdot 2\pi r_{s} \cdot l = 4\pi \cdot 1 \cdot 2 = 8\pi}\)

\(\displaystyle{ V=2 \cdot \frac{1}{3}\pi r_{s}^2 \cdot h_{s} = \frac{2}{3}\pi \cdot 1 \cdot 2 \sqrt{3} = \frac{4 \sqrt{3} }{3}\pi}\)

Nelly91 · Post autor: **Nelly91** » 21 lut 2010, o 18:12

Pole ma wynosić \(\displaystyle{ 4\pi}\). A objętość \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{3} }{3} \pi}\). W objętości widzę gdzie jest błąd, bo wysokość stożka to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\), a nie a. Jeśli ktoś wie jak naprawić ten błąd z polem, proszę o pomoc. Będę wdzięczna.

macpra · Post autor: **macpra** » 21 lut 2010, o 18:31

agulka1987 pisze:\(\displaystyle{ P_{p} = 2 \cdot 2\pi r_{s} \cdot l = 4\pi \cdot 1 \cdot 2 = 8\pi}\)

a powinno być:
\(\displaystyle{ P_{p} = 2 \cdot \pi r_{s} \cdot l = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi}\)

Nelly91 · Post autor: **Nelly91** » 21 lut 2010, o 19:02

Dzięki wielkie. Tylko dlaczego w liczeniu pola tej bryły nie bierze się pod uwagę pola podstawy?

macpra · Post autor: **macpra** » 21 lut 2010, o 19:46

Ponieważ pole powierzchni to jest pole powierzchni, czyli tego co na "wierzchu" a podstawa jest wewnątrz powstałej bryły.