Objętości, pola i kąty

myona · Post autor: **myona** » 20 lut 2010, o 16:12

Witam,

Jestem nowa i od razu mam do was ogromną prośbę- może mi ktoś wyliczyć choć niektóre z tych zadań? Jestem w 3 klasie lo, nie lubie matematyki, a te zadania mają być na spr. poprawkowym, bo z 1 dostałam pałe nie rozumiem tego działu, kompletnie nie widze tych przekątnych..

Tak wiec prosze dobre dusze o pomoc, spr. jest w czwartek

Stereometria – wielościany.
1.Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 30 stopni i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.

3.Długość krawędzi czworościanu foremnego jest równa a. Oblicz długość wysokości tego czworościanu.

5.Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o przekątnej długości d = 10 cm.

7.Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeżeli:
a)jego wysokość jest równa 6 cm.
b)Przekątna graniastosłupa tworzy z jedną z krawędzi bocznych kąt 30 stopni.
c)Przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni.
d)Przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną jednej ze ścian bocznych kąt 30 stopni.

8.Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej 6 cm i
Wysokości 8 cm. Wyznacz kąt, jaki tworzą przekątne tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka.

9.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakowe długości.
Oblicz miarę kąta:
a)nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
b)nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
c)między sąsiednimi ścianami bocznymi.
d)między przeciwległymi ścianami bocznymi.

11.Oblicz miarę kąta między ścianami czworościanu foremnego oraz sinus kąta, jaki tworzy krawędź boczna tego czworościanu z jego podstawą.

12.W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a, natomiast krawędź boczna ma długość 2 razy większą. Oblicz miarę, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

13.W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a, natomiast jego krawędź boczna ma długość 3 razy większą. Obliczyć miarę kąta, jaki tworzy wysokość ostrosłupa z jego krawędzią boczną.

14.Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości równej 9, jeśli cosinus kąta między wysokością tego ostrosłupa a jego krawędzią boczną jest równy 0,6.

15.Obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy:
a)dana jest krawędź podstawy o długości a = 6 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stopni.
b)dana jest krawędź podstawy o długości a = 6 cm, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 30 stopni.
c)Dana jest wysokość ostrosłupa h = 8 cm, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stopni.

16.Obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego , w którym krawędź podstawy
ma długość a = 10 cm
a)a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stopni.
b)Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stopni.

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 20 lut 2010, o 16:29

Zad. 1
Kąt w tym rombie ma \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\). Wysokość rombu można obliczyć z funkcji trygonometrycznych albo z zależności w trójkącie równobocznym, jest ona równa 6.
Dlatego pole podstawy \(\displaystyle{ P_p=a\cdot h=6\cdot 12=72}\).
Pole powierzchni bocznej to 4 prostokąty o bokach 12 i 8.
\(\displaystyle{ P_b=4\cdot 12\cdot 8=384}\).
\(\displaystyle{ P_c=2P_p+P_b=72+72+384=528}\)-- 20 lut 2010, o 16:37 --Zad. 3
Wzór na objętość czworościanu to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{12}a^3}\).
Ale można też ją obliczyć jak w normalnym ostrosłupie, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{3}P_p\cdot H}\).
Podstawa jest trójkątem równobocznym, czyli \(\displaystyle{ P_p= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}}\).

Wystarczy ułożyć równanie:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}a^3 }{12}= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\cdot H \\
H= \frac{ \sqrt{2}a^3 }{12}\cdot \frac{4}{a^2 \sqrt{3} }= \frac{a^3 \sqrt{2} }{3a^2 \sqrt{3} }= \frac{a \sqrt{2} }{3 \sqrt{3} }}\)

myona · Post autor: **myona** » 20 lut 2010, o 16:45

dziekuje bardzo

nic na razie z tego nie rozumiem,ale może jakoś pomału dojdę do Twoich wyników

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 20 lut 2010, o 16:49

Ale czego dokładnie nie rozumiesz?

myona · Post autor: **myona** » 20 lut 2010, o 16:52

Jak ci to 6 wyszło z 1 zadaniu...

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 20 lut 2010, o 16:55

Narysuj ten romb i poprowadź wysokość. Wtedy powstaje taki mały trójkąt, w którym wiadomo, że 1 kąt ma \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\). Teraz z funkcji trygonometrycznych można wyliczyć:
\(\displaystyle{ sin30^{\circ}= \frac{h}{a}}\), a wiadomo, że a=12.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \frac{h}{12} \Rightarrow h=6}\)

myona · Post autor: **myona** » 20 lut 2010, o 17:14

nie rozumiem. Narysowałam to sobie. Ale przeciez sinus to jest stosunek długości przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta ostrego długości przeciwprostokątnej c...

wiec przeciwprostokątna z twoich obliczeń to 12, ale jakim cudem, skoro to jest długość?

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 20 lut 2010, o 17:31

Zgadza się. Wysokość h leży naprzeciw kąta \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\), a bok a=12 jest jednocześnie przeciwprostokątną tego trójkąta.-- 20 lut 2010, o 17:38 --Zad. 5
Przekątną sześcianu liczymy ze wzoru \(\displaystyle{ d=a \sqrt{3}}\). Można z tego wyliczyć bok a.
\(\displaystyle{ a \sqrt{3}=10 \\
a= \frac{10}{ \sqrt{3} }= \frac{10 \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ P=6a^2=6\cdot ( \frac{10 \sqrt{3} }{3})^2=200}\)

myona · Post autor: **myona** » 20 lut 2010, o 17:54

dziekuje Ci, ratujesz mi skórę

nikt juz pozostałych nie wie?