1. Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości \(\displaystyle{ a}\) i kącie ostrym \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
2. Wysokość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ma długość \(\displaystyle{ 5 \sqrt{6}}\), a długość krawędzi podstawy jest równa 10 cm. Oblicz długość krawędzi bocznej i miarę kąta, jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną podstawy.
3. Wysokość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ma długość H. Wysokość ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa.
4. Pole powierzchni bocznej prawidłowego ostrosłupa czworokątnego wynosi 14,76, a pole powierzchni całkowitej 18. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość wysokości ostrosłupa.
ostrosłup - zadania
-
Cecylia
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 21 lut 2009, o 16:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 7 razy
ostrosłup - zadania
Ostatnio zmieniony 20 lut 2010, o 12:26 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Litery alfabetu greckiego należy generować przy użyciu LaTeX-a.
Powód: Poprawa wiadomości. Litery alfabetu greckiego należy generować przy użyciu LaTeX-a.
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
ostrosłup - zadania
2.
a-krawędź podstawy
b-kraędź boczna
d-przekatna podstawy
H-wysokośc ostrosłupa
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}=10 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{H^2 + \left( \frac{1}{2}d \right)^2 } = \sqrt{ \left( 5 \sqrt{6} \right)^2 + \left(5 \sqrt{2} \right)^2 } = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \frac{1}{2}d }{b} = \frac{5 \sqrt{2} }{10 \sqrt{2} } = \frac{1}{2}=60^o}\)
3.
a-kraędxpodstay
b-kraędź boku
d-przekatna podstawy
\(\displaystyle{ tg60^o = \frac{H}{ \frac{1}{2}a }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{H}{\frac{1}{2}a }}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2 \sqrt{3} }{3}H}\)
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{6} }{3}H}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt{H^2 + \left( \frac{1}{2}d \right)^2 } = \sqrt{H^2 + \left( \frac{2 \sqrt{6} }{6}H \right)^2 } = \sqrt{ \frac{60}{36}H^2 } = \frac{ \sqrt{15} }{6}H}\)
4.
a-kraędź podstay
h-wysokość ściany bocznej
H-wysokośc ostrosłupa
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h =14,76}\)
\(\displaystyle{ a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h = 18 \Rightarrow a^2 + 14,76 = 18 \Rightarrow a^2 = 3,24 \Rightarrow a=1,8}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h =14,76 \Rightarrow 2 \cdot 1,8 \cdot h = 14,76 \Rightarrow h= \frac{14,76}{3,6}=4,1}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{h^2- \left( \frac{1}{2}a \right)^2 }= \sqrt{(4,1)^2-(0,9)^2} = \sqrt{16,81-0,81}=4}\)
a-krawędź podstawy
b-kraędź boczna
d-przekatna podstawy
H-wysokośc ostrosłupa
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}=10 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{H^2 + \left( \frac{1}{2}d \right)^2 } = \sqrt{ \left( 5 \sqrt{6} \right)^2 + \left(5 \sqrt{2} \right)^2 } = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \frac{1}{2}d }{b} = \frac{5 \sqrt{2} }{10 \sqrt{2} } = \frac{1}{2}=60^o}\)
3.
a-kraędxpodstay
b-kraędź boku
d-przekatna podstawy
\(\displaystyle{ tg60^o = \frac{H}{ \frac{1}{2}a }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{H}{\frac{1}{2}a }}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2 \sqrt{3} }{3}H}\)
\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{6} }{3}H}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt{H^2 + \left( \frac{1}{2}d \right)^2 } = \sqrt{H^2 + \left( \frac{2 \sqrt{6} }{6}H \right)^2 } = \sqrt{ \frac{60}{36}H^2 } = \frac{ \sqrt{15} }{6}H}\)
4.
a-kraędź podstay
h-wysokość ściany bocznej
H-wysokośc ostrosłupa
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h =14,76}\)
\(\displaystyle{ a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h = 18 \Rightarrow a^2 + 14,76 = 18 \Rightarrow a^2 = 3,24 \Rightarrow a=1,8}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h =14,76 \Rightarrow 2 \cdot 1,8 \cdot h = 14,76 \Rightarrow h= \frac{14,76}{3,6}=4,1}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{h^2- \left( \frac{1}{2}a \right)^2 }= \sqrt{(4,1)^2-(0,9)^2} = \sqrt{16,81-0,81}=4}\)