obj. ostroslupa
-
Cecylia
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 21 lut 2009, o 16:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 7 razy
obj. ostroslupa
podstawa ostroslupa prawidlowego jest omiokat. oblicz objetosc tego ostroslupa wiedzac ze jego krawedz boczna ma dl. 10cm, a kat miedzy krawedzia boczna a plaszczyzna podstawy ma miare 30 stopni.
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
obj. ostroslupa
Oznaczenia:
Wzór na pole ośmiokąta foremnego \(\displaystyle{ P=2a^2 \left( 1+ \sqrt{2} \right)}\)
H - wysokość ostrosłupa
d - najdłuższa przekątna podstawy
b - krawędź boczna
\(\displaystyle{ P_p=2a^2 \left( 1+ \sqrt{2} \right)=2 \cdot 10^2 \left( 1+ \sqrt{2} \right)=200\left( 1+ \sqrt{2} \right)=200+200 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ d^2=a^2+ \left(5 \sqrt{2} +10+5 \sqrt{2} \right) ^2\\
d^2=100+ \left( 10+10 \sqrt{2} \right)^2\\
d^2=100+100+200 \sqrt{2} +200\\
d^2=400+200 \sqrt{2}\\
d= \sqrt{400+200 \sqrt{2}} \\
d= \sqrt{ 100\left(4+2 \sqrt{2} \right) }\\
d=10 \sqrt{4+2 \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ \tg 30^\circ = \frac{H}{ \frac{1}{2}d }\\
\frac{ \sqrt{3} }{3} =\frac{H}{ \frac{1}{2} \cdot 10 \sqrt{4+2 \sqrt{2} } }\\
\frac{ \sqrt{3} }{3} =\frac{H}{ 5 \sqrt{4+2 \sqrt{2} } }\\
H= \frac{ \sqrt{3} \cdot 5 \sqrt{4+2 \sqrt{2} } }{3}\\
H= \frac{ 5 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{3}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_pH= \frac{1}{3} \cdot \left( 200+200 \sqrt{2} \right)\cdot \frac{ 5 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{3}=\left( 200+200 \sqrt{2} \right)\cdot \frac{ 5 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{9}=\frac{ 1000 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{9}+\frac{ 1000 \sqrt{24+12 \sqrt{2} } }{9}=\frac{ 1000 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{9}+\frac{ 2000 \sqrt{8+3 \sqrt{2} } }{9}}\)
Wzór na pole ośmiokąta foremnego \(\displaystyle{ P=2a^2 \left( 1+ \sqrt{2} \right)}\)
H - wysokość ostrosłupa
d - najdłuższa przekątna podstawy
b - krawędź boczna
\(\displaystyle{ P_p=2a^2 \left( 1+ \sqrt{2} \right)=2 \cdot 10^2 \left( 1+ \sqrt{2} \right)=200\left( 1+ \sqrt{2} \right)=200+200 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ d^2=a^2+ \left(5 \sqrt{2} +10+5 \sqrt{2} \right) ^2\\
d^2=100+ \left( 10+10 \sqrt{2} \right)^2\\
d^2=100+100+200 \sqrt{2} +200\\
d^2=400+200 \sqrt{2}\\
d= \sqrt{400+200 \sqrt{2}} \\
d= \sqrt{ 100\left(4+2 \sqrt{2} \right) }\\
d=10 \sqrt{4+2 \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ \tg 30^\circ = \frac{H}{ \frac{1}{2}d }\\
\frac{ \sqrt{3} }{3} =\frac{H}{ \frac{1}{2} \cdot 10 \sqrt{4+2 \sqrt{2} } }\\
\frac{ \sqrt{3} }{3} =\frac{H}{ 5 \sqrt{4+2 \sqrt{2} } }\\
H= \frac{ \sqrt{3} \cdot 5 \sqrt{4+2 \sqrt{2} } }{3}\\
H= \frac{ 5 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{3}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_pH= \frac{1}{3} \cdot \left( 200+200 \sqrt{2} \right)\cdot \frac{ 5 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{3}=\left( 200+200 \sqrt{2} \right)\cdot \frac{ 5 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{9}=\frac{ 1000 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{9}+\frac{ 1000 \sqrt{24+12 \sqrt{2} } }{9}=\frac{ 1000 \sqrt{12+6 \sqrt{2} } }{9}+\frac{ 2000 \sqrt{8+3 \sqrt{2} } }{9}}\)