Witam mam takie zadanie i nie umiem sobie z nim poradzić
Odcinek o końcach A(2,3) i B(0,5) jest podstawą trapezu ABCD. Druga podstawa o środku w punkcjie S(-2,1) jest dwa razy dłuższa od podstawy AB. Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót trapezu ABCD wokół prostej AB.
objętość bryły
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
objętość bryły
\(\displaystyle{ \left| AB\right|= \sqrt{ \left( 2-0\right)^2+ \left( 3-5\right)^2 } =\sqrt{ 4+ 4 }= 2\sqrt{2} \\
\left|CD \right| =2\left| AB\right|=2 \cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}}\)
Prosta przechodząca przez punkty A, B:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3=2a+b \\ 5=0a+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=5 \\ a=-1\end{cases} \\
y=-x+5 \quad \Leftrightarrow \quad k: x+y-5=0}\)
Odległość \(\displaystyle{ \left|AB \right|}\) od \(\displaystyle{ \left| CD\right|}\)
\(\displaystyle{ d \left( S, k\right)= \frac{ \left|1 \cdot \left(-2 \right)+1 \cdot 1-5 \right| }{ \sqrt{1^2+1^2} } = \frac{6}{ \sqrt{2} } = 3\sqrt{2}}\)
Obliczamy środek \(\displaystyle{ \left|AB \right|}\):
\(\displaystyle{ x= \frac{2+0}{2}=1\\
y= \frac{3+5}{2}=4\\
T= \left( 1, 4\right)}\)
Zauważmy, że:
B, T, A zmieniają się x i y o 1
to w C, S, D zmieniają się o 2
\(\displaystyle{ C= \left( x_s-2, y_s +2\right) = \left( -4, 3\right)\\
D= \left( x_s+2, y_s-2\right) = \left( 0, -1\right)}\)
Teraz należałoby narysować daną figurę aby widzieć jak ona wygląda.
Jest to walec z wyciętymi stożkami z jednej i drugiej strony.
H, L, M - wysokości
\(\displaystyle{ V_f=V_w-V_s\\
V_w=P_pH\\
V_s=V_{s_1}+V_{s_2}= \frac{1}{3} P_pL+ \frac{1}{3} P_pM= \frac{1}{3} P_p \left(L+M \right) \\
P_p=\pi r^2\\
r=d \left( S, k\right)=3 \sqrt{2}\\
H= \left| CD\right| = 4\sqrt{2}\\
L+M=H- \left| AB\right| =4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\
V_f=P_pH- \left( \frac{1}{3} P_p \left(L+M \right)\right) =\pi \left( 3 \sqrt{2}\right) ^2 \cdot 4\sqrt{2}- \left( \frac{1}{3} \pi \left( 3 \sqrt{2}\right) ^2 \cdot 2\sqrt{2}\right)=72\pi \sqrt{2}-12\pi \sqrt{2}=60\pi \sqrt{2}}\)
\left|CD \right| =2\left| AB\right|=2 \cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}}\)
Prosta przechodząca przez punkty A, B:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3=2a+b \\ 5=0a+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=5 \\ a=-1\end{cases} \\
y=-x+5 \quad \Leftrightarrow \quad k: x+y-5=0}\)
Odległość \(\displaystyle{ \left|AB \right|}\) od \(\displaystyle{ \left| CD\right|}\)
\(\displaystyle{ d \left( S, k\right)= \frac{ \left|1 \cdot \left(-2 \right)+1 \cdot 1-5 \right| }{ \sqrt{1^2+1^2} } = \frac{6}{ \sqrt{2} } = 3\sqrt{2}}\)
Obliczamy środek \(\displaystyle{ \left|AB \right|}\):
\(\displaystyle{ x= \frac{2+0}{2}=1\\
y= \frac{3+5}{2}=4\\
T= \left( 1, 4\right)}\)
Zauważmy, że:
B, T, A zmieniają się x i y o 1
to w C, S, D zmieniają się o 2
\(\displaystyle{ C= \left( x_s-2, y_s +2\right) = \left( -4, 3\right)\\
D= \left( x_s+2, y_s-2\right) = \left( 0, -1\right)}\)
Teraz należałoby narysować daną figurę aby widzieć jak ona wygląda.
Jest to walec z wyciętymi stożkami z jednej i drugiej strony.
H, L, M - wysokości
\(\displaystyle{ V_f=V_w-V_s\\
V_w=P_pH\\
V_s=V_{s_1}+V_{s_2}= \frac{1}{3} P_pL+ \frac{1}{3} P_pM= \frac{1}{3} P_p \left(L+M \right) \\
P_p=\pi r^2\\
r=d \left( S, k\right)=3 \sqrt{2}\\
H= \left| CD\right| = 4\sqrt{2}\\
L+M=H- \left| AB\right| =4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\
V_f=P_pH- \left( \frac{1}{3} P_p \left(L+M \right)\right) =\pi \left( 3 \sqrt{2}\right) ^2 \cdot 4\sqrt{2}- \left( \frac{1}{3} \pi \left( 3 \sqrt{2}\right) ^2 \cdot 2\sqrt{2}\right)=72\pi \sqrt{2}-12\pi \sqrt{2}=60\pi \sqrt{2}}\)