Tożsamość punktów

[SasQ]

Nie wiedziałem, do którego z działów najbardziej pasuje, więc wrzucam tutaj [choć będę pytał o rzeczy elementarne, to jakoś nie pasowało mi to do konstrukcji].

Co określa, czy dwa punkty A i B są tożsame? [wyznaczają to samo miejse]

Dwa różne punkty A i B na jednowymiarowej linii dzieli pewna odległość. Jednak mając do dyspozycji przestrzeń mającą o jeden wymiar więcej [w tym wypadku płaszczyznę], można zanurzyć tą jednowymiarową linię w tej przestrzeni i tak zagiąć, by punkty A i B stały się tym samym miejscem. Można to zrobić z dowolną przestrzenią n-wymiarową w przestrzeni o n+1 wymiarów. W przestrzeni n+1 będzie to ten sam punkt, a w przestrzeni n będą to nadal dwa różne punkty i będzie je dzielić określona odległość.

Skoro tak, co różnicuje punkty od siebie?
Co wywołuje iluzję, że dzieli je określona ilość przestrzeni? [odległość]

[Dasio11]

Zdaje mi się, że odległość mierzymy w linii prostej, a nie po np. zagiętej kartce...
Jak ją rozegniemy to odległość się przecież zmieni.

[SasQ]

W geometrii "płaskiej" [euklidesowej] tak właśnie jest, jak mówisz.
Jednak w geometriach "zakrzywionych" [np. sferycznej, hiperbolicznej itp.] przestrzeń może zakrzywiać się w wyższym wymiarze i wtedy wychodzą różne "jaja" ;J Np. suma kątów w trójkącie może być różna od 180, liczba pi może być różna od 3.14..., linie równoległe mogą się przecinać itp.

Dam Ci przykład, żebyś zaczaił o co chodzi:
Wyobraź sobie, że chcesz zmierzyć odległość między Warszawą a Pekinem. Ponieważ możesz poruszać się jedynie po powierzchni Ziemi, najkrótsza droga z Warszawy do Pekinu będzie łukiem na powierzchni kuli ziemskiej [fragment koła wielkiego]. Na tej dwuwymiarowej powierzchni odległość będzie większa, niż gdybyś miał dostępny trzeci wymiar i mógł np. zrobić podkop do Chin poprzez wnętrze Ziemi

Podobnie jeśli jesteś ograniczony do 1 wymiaru i możesz się poruszać tylko wzdłuż linii, punkty A i B będzie dzielić pewna odległość obliczona wzdłuż linii. Odległość ta może być krótsza, jeśli masz dostępny dodatkowy wymiar i możesz spacerować po całej płaszczyźnie. Może być nawet zerowa, jeśli na płaszczyźnie punkty A i B leżą w tym samym miejscu.

I podobnie jeśli jesteś ograniczony do 3 wymiarów, odległość z Ziemi na Tau Ceti wynosi około 12 lat świetlnych. Ale jeśli zagniesz przestrzeń 3D w czwartym wymiarze, możesz zetknąć ze sobą te dwa miejsca i stworzyć "portal". Wtedy wlatując w niego w pobliżu Ziemi znajdziesz się od razu w pobliżu Tau Ceti, ponieważ oba końce portala okażą się być tym samym punktem w czwartym wymiarze, więc odległość między nimi jest zerowa w 4D.

Pytanie brzmi: co sprawia, że punkty A i B dzieli pewna ilość przestrzeni [odległosć] w niższym wymiarze, a w wyższym może ona być mniejsza lub nawet zerowa? Co wywołuje iluzję, że punkty są oddzielne w niższym wymiarze? Skąd się bierze odległość? [przestrzeń między nimi]

Dodam jeszcze, że na linii jest dokładnie tyle samo punktów, co na płaszczyźnie, i tyle samo, co w przestrzeni. Punkty mogą znaleźć się nieskończenie blisko siebie, bo mają zerowy wymiar. Skoro tak, to co sprawia, że przestrzeń nie zapada się do płaszczyzny, a płaszczyzna do linii, a linia do punktu?

EDIT: Masz w avatarze czterowymiarowy hipersześcian [tesseract]. To zobowiązuje

[Dasio11]

Ja uważam, że kilka różnych przestrzeni nie istnieje. Jeżeli istnieje na przykład trzeci wymiar, to nie istnieje drugi, bo jeden z jego wymiarów jest zerowy
Jeśli "zaginasz" drugi wymiar, to automatycznie robisz z niego trzeci. W Twoim przykładzie z punktami A i B, istota "jednowymiarowa" najpierw miała możliwość pójścia w dwie różne strony. I OK, bo po to jest pierwszy wymiar żeby nigdzie indziej nie uciekać. Ty zaś niszczysz jego urodę i zaginasz prostą, nakładając punkty A i B na siebie. Teraz istota stojąca w A alias B, ma możliwość pójścia w czterech różnych kierunkach, więc nie może to już być wymiar pierwszy =)