pole i objętośc bryły

[jessica2007]

jeśli ktos moglby poswiecic chwilke bede bardzo wdzieczna W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny
podstawy wynosi \(\displaystyle{ 30^{0}}\) , a krawędź boczna 8 cm. Oblicz pole i objętość bryły.

[mala_mi]

Musisz skorzystać z własności trójkąta prostokątnego o kątach 30 i 60 stopni i wyliczyć długość krawędzi podstawy, a potem, to już ze wzoru na pole i objętość.

[kgrol]

O ile ta przekątna jest przekątną 'całego' graniastosłupa, wówczas oznaczmy:
\(\displaystyle{ a}\)- długość podstawy graniastosłupa,
\(\displaystyle{ Y}\)- długość przekątnej podstawy graniastosłupa
\(\displaystyle{ h}\)- wysokość graniastosłupa czyli krawędź boczna
\(\displaystyle{ X}\)- długość przekątnej graniastosłupa.
Wiemy że, \(\displaystyle{ h=8}\) oraz kąt nachylenia przekątnej graniastołupa do płaszczyzny podstawy wynosi \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\). Wiemy również, że kąt nachylenia krawędzie bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\). Biorąc przekrój wzdłuż krawędzi bocznej, przekątnej podstawy graniastosłupa oraz przekątnej 'całego' graniastosłupa otrzymujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ h}\), oraz przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ X}\). Kąt między odcinkami \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ h}\) wynosi oczywiście \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) natomiast kąt między odcinkami \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) stąd łatwo policzymy, że ostatni kąt w naszym trójkącie będzie miał rozmiar \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) bo suma kątów w trójkącie równa się \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\). Poza tym jest do dosyć dobrze znany trójkąt \(\displaystyle{ 30}\) \(\displaystyle{ 60}\) \(\displaystyle{ 90}\) i z jego własności skorzystamy licząc długość przekątnej graniastosłupa \(\displaystyle{ X=16}\) oraz długość przekątnej podstawy graniastosłupa, w naszym przypadku \(\displaystyle{ Y= \frac{X \sqrt{3}}{2}=\frac{16 \sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}}\). Pozostaje policzyć długość podstawy graniastosłupa ze wzoru na przekątna kwadratu czyli u nas wzoru na \(\displaystyle{ Y}\),
\(\displaystyle{ Y=a \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 8 \sqrt{3}= a \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 8 \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}= a\cdot 2}\), czyli otrzymujemy \(\displaystyle{ a= \frac{ 8 \sqrt{6}}{2}=4 \sqrt{6}}\).

Pole: \(\displaystyle{ P= a^{2}\cdot 2 + a\cdot h\cdot 4 =\left( 4 \sqrt{6}\right) ^{2}\cdot 2 + 4 \sqrt{6}\cdot 8\cdot 4=48\cdot 2 + 4 \sqrt{6}\cdot 32=92+64\sqrt{6}}\)

Objętość: \(\displaystyle{ V=a^{2}\cdot h=\left( 4 \sqrt{6}\right) ^{2}\cdot 8=48\cdot 8=384}\)
No chyba że się pomyliłem... tylko głupiec się nie myli.
I tak oto przypomniałem sobie dawno zapomniane podstawy techa.
A i jeszcze najlepiej oczywiście dla lepszego zrozumienia narysować szkic i zaznaczyć wszystkie te długości.

[jessica2007]

dziękuje bardzo pozdrawiam