Kula wpisana i opisna na ostrosłupie

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 6 lut 2010, o 19:03

Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup do objętości kuli opisanej na nim.

Mam pytanie, jaką rolę w tych dwóch przypadkach odgrywać będzie promień odpowiednich kul?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 7 lut 2010, o 11:58

O ,,rolach" na matmie można długo i niekonkretnie - tu np ,,znaczącą".

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 7 lut 2010, o 12:53

No ale konkretnie - czym ten promień będzie jeśli opiszę kulę na ostrosłupie a czym gdy wpisze ją w ostrosłup?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 7 lut 2010, o 13:20

Popróbuję opisać to słowami :
R; r - promień opisanej; wpisanej

Kroisz ostrosłup przez jego wysokość i wysokość podstawy.
Masz trójkąt : wysokość ściany bocznej; wysokość podstawy; krawędź boczna.
Okrąg (ten od kuli opisanej) przechodzi przez dwa wierzchołki tego trójkąta (te przy krawędzi bocznej), a jego środek leży na wysokości ostrosłupa (którą na tym trójkącie też mamy).
Ponieważ wszystkie wymiary trójkąta da się uzależnić od krawędzi podstawy, to i do R da się ,,dogrzebać".

Okrąg (ten od kuli wpisanej) jest styczny do wysokości ściany bocznej i wysokości podstawy (patrz ten sam trójkąt co wcześniej), jego srodwk leży na wysokości ostrosłupa.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 7 lut 2010, o 16:26

\(\displaystyle{ Kroisz ostrosłup przez jego wysokość i wysokość podstawy.
Masz trójkąt : wysokość ściany bocznej; wysokość podstawy; krawędź boczna.}\)

Wysokość ostrosłupa mam jedną i tu nie ma problemu, ale mam na przykład już trzy wysokości podstawy i nie wiem o której mówisz. Usiłuję zrobić rysunek do tego zadania, i nic mi niestety nie wychodzi . Zależy mi na tym aby poznać jak to działa, dlatego bardzo proszę o pomoc.

I jeszcze jedno pytanie. Gdybym miał ostrosłup czworokątny? Albo sześciokątny? Jak wówczas należy rozwiązywać takie zadania?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 7 lut 2010, o 18:33

Co do tych wysokości podstawy - jest nią trójkąt równoboczny - jest jedna.

Z czworokątnym (też sześciokątnym) jest łatwiej - np szukasz okręgu wpisanego na trójkącie równoramiennym : przeciwległe krawędzie boczne, przekątna podstawy.
Z wpisanym też idzie łatwiej.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 8 lut 2010, o 20:23

Zrobiłem rysunek bo jednak coś nie wychodzi mi. To jest ten trójkąt o którym mówiłeś:

\(\displaystyle{ |AB| = \frac{a \sqrt{3} }{2} \\ |CD|=a}\)

|AC|-krawęź ściany bocznej
|BC| - wysokość ściany bocznej

Mogę wprawdzie podoliczać pozostałe boki trójkata ale jak dobrać się do promieni? I czy w ogóle dobrze je zaznaczyłem?