1. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości \(\displaystyle{ a=8}\). Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{2}{3}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ P_b}\).
2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a=18}\) i kącie nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy \(\displaystyle{ 60^o}\). Wyznacz \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ P_b}\).
będę wdzięczna za każdą pomoc!:)
Ostrosłupy prawidłowe czworokątne
-
martiness5
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 3 sty 2010, o 22:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
Ostrosłupy prawidłowe czworokątne
Ostatnio zmieniony 5 lut 2010, o 10:06 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ostrosłupy prawidłowe czworokątne
Treść zadania 1. należałoby sprecyzować: czy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy, czy też do krawędzi podstawy.
Załóżmy, że chodzi o pierwszy z dwóch powyższych wariantów. Wtedy obydwa zadania wykonuje się analogicznie, ograniczymy się do rozważenia zadania 1.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}=\cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ b}\) jest długością krawędzi bocznej. Zatem \(\displaystyle{ b=6\sqrt{2}}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy zarówno wysokość \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej, jak i wysokość \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa. Mamy zatem \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{72-16}=2\sqrt{14}}\) oraz \(\displaystyle{ H=\sqrt{b^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{72-32}=2\sqrt{10}}\).
Zatem ze wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ P_b=4\cdot\frac{ah}{2}=2ah=32\sqrt{14}}\), a ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymamy \(\displaystyle{ V=\frac{a^2H}{3}=\frac{128}{3}\sqrt{10}}\).
Załóżmy, że chodzi o pierwszy z dwóch powyższych wariantów. Wtedy obydwa zadania wykonuje się analogicznie, ograniczymy się do rozważenia zadania 1.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}=\cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ b}\) jest długością krawędzi bocznej. Zatem \(\displaystyle{ b=6\sqrt{2}}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy zarówno wysokość \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej, jak i wysokość \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa. Mamy zatem \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{72-16}=2\sqrt{14}}\) oraz \(\displaystyle{ H=\sqrt{b^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{72-32}=2\sqrt{10}}\).
Zatem ze wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ P_b=4\cdot\frac{ah}{2}=2ah=32\sqrt{14}}\), a ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymamy \(\displaystyle{ V=\frac{a^2H}{3}=\frac{128}{3}\sqrt{10}}\).