Objętość i długości krawędzi ostrosłupa.

Hehee · Post autor: **Hehee** » 20 sty 2010, o 19:51

1. Podstawa ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku dl. 8 cm.. Punkt D jest środkiem krawędzi AC, odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i CS maja dl. 7 cm. Oblicz:

a) długość krawędzi BS tego ostrosłupa
b) miarę kata \(\displaystyle{ \alpha}\) nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

2. Podstawa ostrosłupa jest prostokąt o polu \(\displaystyle{ 54^{2}}\) a stosunek długości boków podstawy jest równy 2:3. Krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z płaszczyzną podstawy kąty o równych miarach 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Będę ogromnie wdzięczny bo ni jak nie rozumiem tego...

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 21 sty 2010, o 12:34

1. Z założenia wynika, że ściana ACS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Jest ona trójkątem równoramiennym, a ponadto z twierdzenia Pitagorasa łatwo dostajemy \(\displaystyle{ |DS|=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}}\). Odcinek BD jest wysokością trójkąta stanowiącego podstawę ostrosłupa. Ma on zatem długość \(\displaystyle{ \frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}}\). Z powyższego i ponownie z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy teraz \(\displaystyle{ |BS|=\sqrt{|BD|^2+|DS|^2}=\sqrt{33+48}=9}\).

Zatem BS jest najdłuższą krawędzią boczną ostrosłupa. Z definicji kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{9}}\).