W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy równej a kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku jest równy \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) . Obliczyć objętość tego ostrosłupa oraz sinus nachylenia ściany bocznej do podstawy.
Podam jak rozwiązywałem to zadanie:
Najpierw liczyłem wysokość ściany bocznej z twierdzenia sinusów.
\(\displaystyle{ \frac{0,5a}{sin \alpha } = \frac{h}{sin( \alpha - 90)}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{acos \alpha }{2sin \alpha }}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{actg \alpha }{2}}\)
Potem korzystając z twierdzenia Pitagorasa liczyłem wysokość ostrosłupa.
Wziąłem pod uwagę trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokości ostrosłupa i 2/3 wysokości podstawy oraz przeciwprostokątnej: wysokości ściany bocznej.
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}}{3} + H ^{2} = \frac{ctg ^{2}\alpha*a ^{2} }{4}}\)
Wyszła mi wysokość ostrosłupa równa:
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{3ctg ^{2} \alpha-4 } }{2 \sqrt{3} }}\)
Czyli objętość ostrosłupa wynosi:
\(\displaystyle{ V=\frac{a ^{3} \sqrt{3ctg ^{2} \alpha-4 } }{24}}\)
Przy liczeniu sinusa skorzystałem z tego samego trójkąta.
\(\displaystyle{ sin \beta = \frac{H}{h}}\)
\(\displaystyle{ sin \beta= \frac{ \sqrt{9ctg ^{2} \alpha-12 } }{3ctg \alpha }}\)
Nie jestem pewien czy tok rozumowania i sposób rozwiązania są odpowiednie, a nie mam jak sprawdzić wyniku. Będę wdzięczny za pomoc przy tym zadaniu