Ostrosłup prawidłowy trójkątny

[antypro]

Witam. Treść zadania brzmi:
Ściana boczna ostosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem równoramiennym o wysokości h i kącie przy podstawie \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz objetość tego ostrosłupa.

Skoro wiem, że ściana boczna jest tr. równoram., zasadne jest
\(\displaystyle{ \frac{ h }{ x } = \tg \alpha}\),
gdzie \(\displaystyle{ x}\) to połowa długości podstawy tego trójkąta. Tak więc \(\displaystyle{ x}\) wyrażony za pomocą \(\displaystyle{ h}\) to:
\(\displaystyle{ x = \frac{h}{\tg \alpha}}\).
\(\displaystyle{ 2x}\) to dł. podstawy ściany i zarazem dł. krawędzi podstawy, czyli to się równa \(\displaystyle{ \frac{2h}{\tg \alpha}}\).
W podstawie jest trójkąt rówoboczny, czyli pole to \(\displaystyle{ \frac{ \frac{4h^{2} \sqrt{3} }{\tg^{2}} }{4} = \frac{h^{2}\sqrt{3} }{\tg\alpha}}\), a dł. wysokości \(\displaystyle{ \frac{ \frac{2h \sqrt{3}}{\tg\alpha} }{2} = \frac{h \sqrt{3} }{\tg\alpha}}\) (obie długości przydatne ).
Aby obliczyć objętość potrzebna jest jeszcze wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) - można ją obliczyć z trójkąta prostokątnego jaki tworzy właśnie ta wysokość, \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy, czyli \(\displaystyle{ \frac{h \sqrt{3} }{3\tg\alpha}}\) oraz długość wysokości ściany bocznej - \(\displaystyle{ h}\).
Liczymy z pitagorasa:
\(\displaystyle{ H^{2} = h ^{2} - (\frac{h \sqrt{3} }{3\tg\alpha})^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2} = h ^{2} - \frac{3h^{2} }{9\tg^{2}\alpha}}\)
\(\displaystyle{ H^{2} = \frac{9\tg^{2} \alpha h ^{2}}{9\tg^{2} \alpha} - \frac{3h^{2} }{9\tg^{2}\alpha} = \frac{9\tg^{2} \alpha h ^{2} - 3 h^{2}}{9\tg^{2} \alpha}}\)
\(\displaystyle{ H = \frac {3 \tg \alpha h - \sqrt{3} h}{3\tg \alpha}}\)
Nieszczęsna objętość:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{h^{2}\sqrt{3} }{\tg\alpha} \cdot \frac {3 \tg \alpha h - \sqrt{3} h}{3\tg \alpha} = ...}\)

Dalej nie umiem, a wynik ma być:
\(\displaystyle{ V = \frac{h \sqrt{3}}{3\tg^{2}\alpha} \sqrt{3 - \frac{1}{\tg^{2}\alpha} }}\)
Nie wiem, gdzie popełniłem błąd, może nie umiem przekształcić.
Z góry dziękuję za pomoc i przepraszam, jeśli moje zapytanie nie spełnia regulaminu.
Pozdrawiam

[tometomek91]

\(\displaystyle{ H^{2} = \frac{9\tg^{2} \alpha h ^{2}}{9\tg^{2} \alpha} - \frac{3h^{2} }{9\tg^{2}\alpha} = \frac{9\tg^{2} \alpha h ^{2} - 3 h^{2}}{9\tg^{2} \alpha}}\)
\(\displaystyle{ H = \frac {3 \tg \alpha h - \sqrt{3} h}{3\tg \alpha}}\)

Źle spierwiastkowane.