Stozek....

[Carl0s]

1. Stosunek pola powierzchni bocznej stozja do jego powierzchni calkowitej rowna sie \(\displaystyle{ k}\). Znajdz kat, jaki tworzy wysokosc tego stozka z tworzaca.

2. Dlugosci bokow trojkata prostokatnego sa trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Oblicz objetosc bryly powstalej przez obrot tego trojkata dookola przeciwprostokatnej.

3. W kule o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wpisano stozek, ktorego tworzaca jest widoczna ze srodka kuli pod katem \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz pole powierzchni calkowitej oraz objetosc stozka.

[robert179]

Zad2.

\(\displaystyle{ AB=a_{2}; AC=a_{1}; BC=a_{3}}\) gdzie BC jest przeciwprostokątną.

\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3} - (a_{n})}\)

Dlugosci bokow trojkata prostokatnego sa trzema kolejnymi liczbami naturalnymi.

=> r=1.

tr, prostokątny => \(\displaystyle{ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=a_{3}^{2}}\).
\(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}+r=a_{1}+1}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=a_{1}+2r=a_{1}+2}\)

Po rozwiązaniu układu, otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a_{1}=3, a_{2}=4, a_{3}=5}\).

_____________________________________________________________________________

h=AD(gdzie D, to punkt przecięcia wysokości opuszczonej z punktu A)

\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{3}*a_{2}*h}\)
(\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}a_{1}a_{2}=6}\))
\(\displaystyle{ h=\frac{2}{5}P_{ABC}=\frac{12}{5}}\)
h=R

\(\displaystyle{ H_{1}=CD}\)

\(\displaystyle{ H_{1}^{2}+h^{2}=a_{1}^{2}}\)
\(\displaystyle{ H_{1}=\frac{9}{5}}\) => \(\displaystyle{ H_{2}=\frac{16}{5}}\)

___________________________________________________________________________

Objętość tej bryły, będzie wyrażał wzór:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi*h^{2}H_{1}+\frac{1}{3}\pi*h^{2}H_{2}}\).




Mam nadzieje, że nigdzie się nie pomyliłem . Smacznego .

[Lady Tilly]

Pole powierzchni bocznej to: \(\displaystyle{ Pb=\pi{\cdot}r{\cdot}l}\) gdzie l to tworząca
Pole powierzchni całkowitej to: \(\displaystyle{ Pc=\pi{\cdot}r{\cdot}l+\pi{\cdot}r^{2}}\)
więc stosunek, o którym mowa przedstawia się tak:
\(\displaystyle{ \frac{Pb}{Pc}=\frac{\pi{\cdot}r{\cdot}l}{\pi{\cdot}r{\cdot}l+\pi{\cdot}r^{2}}=k}\)
inaczej mozna zapisać, że: \(\displaystyle{ \frac{\pi{\cdot}r{\cdot}l}{\pi{\cdot}r(l+r)}=k}\)
czyli: \(\displaystyle{ \frac{l}{l+r}=k}\)
\(\displaystyle{ l=k(l+r)}\)
\(\displaystyle{ l(1-k)=r}\) niech h oznacza wysokość stożka wtedy z twierdzenia Pitagorasa masz:
\(\displaystyle{ h^{2}+l^{2}(1-k)^{2}=l^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}=l^{2}{1-(1-2k+k^{2})]}\)
\(\displaystyle{ h=l\sqrt{2k-k^{2}}}\)
wtedy niech ten kąt to \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=1-k}\)

[Carl0s]

hm....to przeksztalcenie jest napewno dobrze?
\(\displaystyle{ l=k(l+r)}\)
\(\displaystyle{ l(1-k)=r}\)

[Lady Tilly]

pomyliłam się choć nie jestem głodna to zjadłam po drodze jedną literkę:
\(\displaystyle{ l=k(l+r)}\)
\(\displaystyle{ l=kl+kr}\) tu się pomyliłam
\(\displaystyle{ l(1-k)=kr}\)
\(\displaystyle{ \frac{l}{k}-l=r}\)
\(\displaystyle{ h^{2}+(\frac{l}{k}-l)^{2}=l^{2}}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{l}{k}\sqrt{(2k-1)}}\)
wtedy \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{1}{k}-1}\)
chyba się teraz nigdzie nie pomyliłam, jest taki upał dziś, że szok ??:

[Carl0s]

hmm...jezeli dobrze rozumiem polecenie to chodzi o kat przy wierzcholku..a wiec do jego sinusa chyba nie potrzeba wyliczac h...tylko r i l??

[Lady Tilly]

Chodzi o kąt zawarty pomiędzy wysokością h oraz tworzącą l, niech ten kąt ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\) wtedy \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{r}{l}}\) ??: bo już zwątpiłam.