kula wpisana w ostrosłup

[perliczek]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest równa H, a krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt alpha. Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w ten ostrosłup.

[florek177]

Rysunek przekroju: z podobieństwa trójkątów - \(\displaystyle{ \frac{H - r}{r} = \frac{h}{\frac{a}{2}} \,\,\,}\) --> wyznaczasz - r.

z pitagorasa: \(\displaystyle{ H^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = h^{2} \,\,\,}\) --> wyznaczasz - h;

oraz: \(\displaystyle{ \frac{H}{\frac{\sqrt{2} \, a}{2}} =tg(\alpha) \,\,\,}\) --> wyznaczasz - a;

a i h podstawiasz do r.

[perliczek]

nie wiem gdzie ma być ten przekrój, żeby zawierał podany kąt. nie widzę tych trójkatów podobnych...

[florek177]

przekrój na podobieństwa robisz przez wysokości - h - ścian bocznych ostrosłupa; w trójkąt równoramienny wpisz okrąg, zaznacz promień do ramienia i podstawy. Wysokością trójkąta jest wysokość ostrosłupa.
kąt wyznaczasz z trójkąta: wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy, krawędź ściany bocznej.