Ostrosłup o prostopadłej ścianie

vitar · Post autor: **vitar** » 11 sty 2010, o 16:29

Witam,

"Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 6. Ściana boczna ABS jest prostopadła do podstawy oraz |AS|=|BS| = 5. Narysuj siatkę tego ostrosłupa i oblicz jego pole powierzchni"

Powinno wyjść \(\displaystyle{ 6(13 + \sqrt{13})}\)
A mi wyszło gładko 84.
Obliczyłem wysokość ściany bocznej z pitagorasa, wyszło 4 i gładko do wzoru ah/2 i bez pierwiastków.

:/

Wojtolino · Post autor: **Wojtolino** » 11 sty 2010, o 16:52

Pole podstawy 36, wiadomo.
Pole ABS=\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 =12}\) (4 ma wysokość, liczona z Pitagorasa)
Pole BCS = pole ADS = \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6=15}\)
Wysokość CDS liczę tak:
Podstawa ma 6 cm, wiadomo. Z Pitagorasa CS=DS=\(\displaystyle{ \sqrt{61}}\). Przez h oznaczmy wysokość CDS:
\(\displaystyle{ 61=9+h ^{2} \Leftrightarrow h=2 \sqrt{13}}\).
Pole CDS = \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \sqrt{13}=6 \sqrt{13}}\)
Zatem pole powierzchni to PP+PABS+2PBCS+PCDS=\(\displaystyle{ 36+12+2 \cdot 15+6 \sqrt{13}=78+6 \sqrt{13}=6(13+ \sqrt{13})}\).

vitar · Post autor: **vitar** » 13 sty 2010, o 15:14

Nie za bardzo rozumiem, to obliczanie przekątnych płaszczyzn BCS I ADS.
Przekątna kwadratu do \(\displaystyle{ d \sqrt{2}}\) więc jak zniknął ten pierwiastek przy obliczaniu pola ah/2.
nie wiem też skoro CS=DS = \(\displaystyle{ \sqrt{61}}\) , skoro AS I BS = 5 to DS I CS = też 5 , podstawa to przecież kwadrat (S to wierzchołek ostrosłupA )
;/

Wojtolino · Post autor: **Wojtolino** » 13 sty 2010, o 19:33

A, masz rację, gdzieś się rąbnąłem, potraktowałem (chyba, bo nie mogę znaleźć tych notatek ) kąty SBC i SAD jako proste, a nie są przecież proste. Tylko dziwi mnie fakt, że wynik wyszedł mimo wszystko dobry
Jak się doliczę to się odezwę.-- 15 sty 2010, o 17:41 --U, nie da się edytować...
Ale już wiem, sorry nie miałem za bardzo czasu ostatnio.
Błąd był przy liczeniu BCS i ADS, zły kąt tam wziąłem, ale o dziwo wynik wyszedł dobry.

Łatwo zauważyć, że wysokość ABS to 4. Prowadzimy od spodka tej wysokości odcinek do połowy odcinka DC, czyli spodka wysokości DCS (bo oba trójkąty są równoramienne, stąd spodki wysokości wypadają w połowie podstaw). Mamy trójkąt prostokątny o bokach 4, 6 i \(\displaystyle{ 2 \sqrt{13}}\) (z Pitagorasa). Wtedy biorąc połowę trójkąta DCS (która jest prostokątna) liczymy, że SC=SD=\(\displaystyle{ \sqrt{61}}\). Mamy już boki trójkąta BCS=ADS, teraz już spokojnie policzysz pole (chociażby Heron).

Pozostałe były dobrze pewnie skoro wynik ok, nie wiem, nie znalazłem moich notatek