Oblicz objętosc i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy wynoszącej 3 cm i wysokosci ostrosłupa wynoszącej 10 cm. Prosze o rozwiązanie i wytłumaczenie
PROSZE O ROZWIĄZANIE I WYTŁUMACZENIE
Ostrosłup prawidłowy trojkątny
-
Mruczek
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Ostrosłup prawidłowy trojkątny
W czym trudność? Wzór na obliczenie objętości ostrosłupa:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot P _{p} \cdot H}\) .
W podstawie masz trójkąt równoboczny, którego wysokości przecinają się w stosunku 1:2.
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot P _{p} \cdot H}\) .
W podstawie masz trójkąt równoboczny, którego wysokości przecinają się w stosunku 1:2.
-
wishina
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 18:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: St.W.
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 4 razy
Ostrosłup prawidłowy trojkątny
Potrzebne Ci będzie pole podstawy, skoro krawędź podstawy jest równa 3, to korzystajac z wzroru
\(\displaystyle{ P _{p}= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\)
Otrzymujesz:
\(\displaystyle{ P _{p}= \frac{3 ^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{9 \sqrt{3} }{4}}\)
Wysokość ostrosłupa jest równa 10 i teraz już wystarczy podstawić do wzroru na objętość, czyli"
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P _{p} \cdot H}\), czyli
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \sqrt{3} }{4} \cdot 10= \frac{15 \sqrt{3} }{2}}\)
Jeśli chodzi opole całkowite, to pole podstawy już masz, potrzebne Ci jeszcze pole ściany bocznej, która jest rójkątem ,a więc jej wysokość. Najlepiej jeśli obliczysz ją korzystajac z tw. Pitagorasa biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym podstawa to 2/3 wysokośći podstawy ostrosłupa, wysykość to wysokość ostrosłupa i niewiadoma (przeciwprostokątna) to własnie szukana wyskość ściany bocznej.-- 11 sty 2010, o 21:49 --\(\displaystyle{ h_{p}= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h_{p}= \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
A więc 1/3 wysokości potrzebna do obliczenia zadania to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Czyli korzystając z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3}h) ^{2}+H ^{2}=( h_{ś} ) ^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ h _{ś}}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ ( \frac{ \sqrt{3} }{2} ) ^{2}+10 ^{2}= ( h_{ś} ) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}+100= ( h_{ś} ) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{403}{4}= ( h_{ś} ) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ ( h_{ś} )= \frac{ \sqrt{403} }{2}}\) (Coś nieciekawy ten pierwiastek, mógłby ktos zerknąć?)
\(\displaystyle{ P _{ś}= \frac{a \cdot h _{ś} }{2}}\) \(\displaystyle{ P _{ś}}\) - pole ściany bocznej
\(\displaystyle{ P _{ś}= \frac{ 3\cdot \frac{ \sqrt{403} }{2} }{2}= \frac{3 \cdot \sqrt{403} }{4}}\)
No i teraz pole całkowite to pole podstawy + 3\(\displaystyle{ \cdot}\) pole boczne
\(\displaystyle{ P _{p}= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\)
Otrzymujesz:
\(\displaystyle{ P _{p}= \frac{3 ^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{9 \sqrt{3} }{4}}\)
Wysokość ostrosłupa jest równa 10 i teraz już wystarczy podstawić do wzroru na objętość, czyli"
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P _{p} \cdot H}\), czyli
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \sqrt{3} }{4} \cdot 10= \frac{15 \sqrt{3} }{2}}\)
Jeśli chodzi opole całkowite, to pole podstawy już masz, potrzebne Ci jeszcze pole ściany bocznej, która jest rójkątem ,a więc jej wysokość. Najlepiej jeśli obliczysz ją korzystajac z tw. Pitagorasa biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym podstawa to 2/3 wysokośći podstawy ostrosłupa, wysykość to wysokość ostrosłupa i niewiadoma (przeciwprostokątna) to własnie szukana wyskość ściany bocznej.-- 11 sty 2010, o 21:49 --\(\displaystyle{ h_{p}= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h_{p}= \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
A więc 1/3 wysokości potrzebna do obliczenia zadania to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Czyli korzystając z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3}h) ^{2}+H ^{2}=( h_{ś} ) ^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ h _{ś}}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ ( \frac{ \sqrt{3} }{2} ) ^{2}+10 ^{2}= ( h_{ś} ) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}+100= ( h_{ś} ) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{403}{4}= ( h_{ś} ) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ ( h_{ś} )= \frac{ \sqrt{403} }{2}}\) (Coś nieciekawy ten pierwiastek, mógłby ktos zerknąć?)
\(\displaystyle{ P _{ś}= \frac{a \cdot h _{ś} }{2}}\) \(\displaystyle{ P _{ś}}\) - pole ściany bocznej
\(\displaystyle{ P _{ś}= \frac{ 3\cdot \frac{ \sqrt{403} }{2} }{2}= \frac{3 \cdot \sqrt{403} }{4}}\)
No i teraz pole całkowite to pole podstawy + 3\(\displaystyle{ \cdot}\) pole boczne