Ostroslup prawidlowy

[Buror]

Witam!

Mam nietypowa prosbe: otoz rozwiazalem zadanie, ale wynik nie zgadza sie z
tym z odpowiedzi.

Oto zadanie:

Podstawa ostroslupa jest trojkat rownoramienny, w ktorym boki rowne maja
dlugosc b, a kat miedzy nimi zawarty jest rowny \(\displaystyle{ \alpha}\) . Oblicz
objetosc ostroslupa, jesli kazda krawedz boczna tworzy z wysokoscia ostroslupa kat
\(\displaystyle{ \beta}\) .

Skoro pomiedzy krawedzia boczna a wysokoscia jest kat \(\displaystyle{ \beta}\), to
wysokosc tego trojkata (H) bedzie rowna \(\displaystyle{ \ctg\beta}\) R.

R wyliczam ze wzoru na pole
podstawy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ b^{2}}\)\(\displaystyle{ \sin\alpha}\)=2\(\displaystyle{ R^{2}}\)\(\displaystyle{ \sin\alpha}\)\(\displaystyle{ \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}\) wzielo sie z dwoch pozostalych katow podstawy.

A wiec dostaje R rowne \(\displaystyle{ \frac {b}{2\cos\alpha}}\) (ten \(\displaystyle{ \cos}\) w mianowniku jest w rzeczywistosc \(\displaystyle{ \cos{\frac{\alpha}{2}}\), ale napisanie formuly mnie przeroslo ).

H rowna sie wiec \(\displaystyle{ \frac {b}{2\cos\alpha}}\)\(\displaystyle{ \ctg\beta}\).

\(\displaystyle{ V=\frac {b}{2\cos\alpha}}\)\(\displaystyle{ \ctg\beta}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ b^{2}}\)\(\displaystyle{ \sin\alpha}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
Wybaczcie, ale nie sprowadzę tego do najprostszej postaci.

Czy popełniłem gdzieś błąd?

Z góry dziękuję za wszystkie odpowiedzi.

[anna_]

post409306.htm
lub
post325268.htm

[Buror]

Dzięki, ale nie zupełnie o to mi chodziło. Rozwiązałem to zadanie używając podlinkowane przez Ciebie sposoby. Chodzi mi o błąd w moim rozumowaniu.

[anna_]

Co to jest to \(\displaystyle{ R}\)?

Oj już wiem.
Ale nie wiem skąd masz ten wzór po prawej stronie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha=2R^{2}\sin\alpha\cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}\)

[Buror]

Ten wzór wziął się z tablic maturalnych (Pole podstawy trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 2R\sin\alpha\sin\beta\sin\delta}\)),\(\displaystyle{ \cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}\) wziął się z zamiany dwóch kątów przy podstawie.


Ósma strona w tym pdf-ie ... ce_mat.pdf

[anna_]

Błędu nie ma, po prostu trzeba to sprowadzić do innej postaci:
\(\displaystyle{ V=\frac {b}{2\cos \frac{\alpha}{2} }\ctg\beta\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha\frac{1}{3}= \frac{b^3sin\alpha ctg\beta}{12\cos \frac{\alpha}{2} }}\)
Podstaw
\(\displaystyle{ cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{ \frac{1+cos\alpha}{2} }}\)
i wyjdzie co trzeba