Dany jest stożek o polu powierzchni \(\displaystyle{ k\pi}\) i kącie nachylenia tworzącej do podstawy \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objętość stożka.
Cenne wskazówki mile widziane.
Stożek, pole powierzhchni, objętość
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Stożek, pole powierzhchni, objętość
Jedyne niewiadome we wzorze na pole powierzchni to promień r i tworząca l. Znamy kąt nachylenia tworzącej do podstawy, więc korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, który jest połową przekroju poprzeczego, możemy je wyznaczyć za pomocą alfy i \(\displaystyle{ k\pi}\). Później już łatwo.
-
AZS06
- Użytkownik
- Posty: 353
- Rejestracja: 15 kwie 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stąd :)
- Podziękował: 125 razy
- Pomógł: 19 razy
Stożek, pole powierzhchni, objętość
Mój tok liczenia :
\(\displaystyle{ \begin{cases}\pi r^2 + \pi rl = k\pi \\ \cos \alpha = \frac{r}{l} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\pi r^2 + \pi rl = k\pi / :\pi\\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}r^2 + rl = k \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos^2 \alpha *l^2 + \cos \alpha *l^2 = k \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l^2*(\cos^2 \alpha + \cos \alpha) = k / : (\cos^2 \alpha + \cos \alpha) \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l^2 = \frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)} \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l = \sqrt{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}} \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l = \sqrt{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}} \\ r = \cos \alpha *\sqrt{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}} \end{cases}}\)
Z Tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h^2 = l^2 - r^2}\)
\(\displaystyle{ h^2 = {\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)} - \cos^2 \alpha *{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}}\)
\(\displaystyle{ h^2 = ({\frac{k}{\cos^2 \alpha + \cos \alpha})(1 - cos^2 \alpha)}\)
\(\displaystyle{ h = \sqrt{({\frac{k}{\cos^2 \alpha + \cos \alpha})(1 - cos^2 \alpha)}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * \pi r^2h}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * \pi *\cos^2 \alpha *{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)} * \sqrt{({\frac{k}{\cos^2 \alpha + \cos \alpha})(1 - cos^2 \alpha)}}\) ...
Czy tak należało wykonać to zadanie ??
Te obliczenia troszkę dziwne, wydaje mi się że jednak coś źle jest liczone.
Liczę na pomoc.
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \begin{cases}\pi r^2 + \pi rl = k\pi \\ \cos \alpha = \frac{r}{l} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\pi r^2 + \pi rl = k\pi / :\pi\\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}r^2 + rl = k \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos^2 \alpha *l^2 + \cos \alpha *l^2 = k \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l^2*(\cos^2 \alpha + \cos \alpha) = k / : (\cos^2 \alpha + \cos \alpha) \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l^2 = \frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)} \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l = \sqrt{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}} \\ \cos \alpha *l = r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}l = \sqrt{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}} \\ r = \cos \alpha *\sqrt{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}} \end{cases}}\)
Z Tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h^2 = l^2 - r^2}\)
\(\displaystyle{ h^2 = {\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)} - \cos^2 \alpha *{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)}}\)
\(\displaystyle{ h^2 = ({\frac{k}{\cos^2 \alpha + \cos \alpha})(1 - cos^2 \alpha)}\)
\(\displaystyle{ h = \sqrt{({\frac{k}{\cos^2 \alpha + \cos \alpha})(1 - cos^2 \alpha)}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * \pi r^2h}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * \pi *\cos^2 \alpha *{\frac{k}{(\cos^2 \alpha + \cos \alpha)} * \sqrt{({\frac{k}{\cos^2 \alpha + \cos \alpha})(1 - cos^2 \alpha)}}\) ...
Czy tak należało wykonać to zadanie ??
Te obliczenia troszkę dziwne, wydaje mi się że jednak coś źle jest liczone.
Liczę na pomoc.
Pozdrawiam