pole boczne stożka

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
mgaatj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 17 mar 2009, o 14:15
Płeć: Mężczyzna

pole boczne stożka

Post autor: mgaatj »

Suma długości tworzącej i średnicy podstawy stożka jest równa \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\). Oblicz pole boczne stożka wiedząc, że kąt rozwarcia stożka ma miarę \(\displaystyle{ 120^o}\).
Ostatnio zmieniony 7 sty 2010, o 15:30 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj całe wyrażenie matematyczne między jedną parą tagów [latex] i [/latex] - zapis będzie czytelniejszy.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

pole boczne stożka

Post autor: anna_ »

\(\displaystyle{ l}\) - tworząca
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy

\(\displaystyle{ \begin{cases} l+2r=4 \sqrt{3} \\ cos30^o= \frac{r}{l} \end{cases}}\)
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

pole boczne stożka

Post autor: lukasz1804 »

Z założenia mamy \(\displaystyle{ l+2r=4\sqrt{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ l, r}\) oznaczają odpowiednio długość tworzącej i długość promienia podstawy stożka.
Ponadto z twierdzenia kosinusów dostajemy \(\displaystyle{ 4r^2=(2r)^2=l^2+l^2-2\cdot l\cdot l\cdot\cos 120^o=2l^2(1-\cos 120^o)=3l^2}\), czyli \(\displaystyle{ r=\frac{l\sqrt{3}}{2}}\). Stąd i z powyższego otrzymujemy \(\displaystyle{ l+l\sqrt{3}=4\sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ l=\frac{4\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}\). Zatem \(\displaystyle{ r=3(\sqrt{3}-1)}\) i ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka jest \(\displaystyle{ P=\pi rl=6\pi\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)^2=12\pi\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}\).
ODPOWIEDZ