pole boczne stożka
pole boczne stożka
Suma długości tworzącej i średnicy podstawy stożka jest równa \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\). Oblicz pole boczne stożka wiedząc, że kąt rozwarcia stożka ma miarę \(\displaystyle{ 120^o}\).
Ostatnio zmieniony 7 sty 2010, o 15:30 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj całe wyrażenie matematyczne między jedną parą tagów[latex] i [/latex] - zapis będzie czytelniejszy.
Powód: Umieszczaj całe wyrażenie matematyczne między jedną parą tagów
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
pole boczne stożka
\(\displaystyle{ l}\) - tworząca
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy
\(\displaystyle{ \begin{cases} l+2r=4 \sqrt{3} \\ cos30^o= \frac{r}{l} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy
\(\displaystyle{ \begin{cases} l+2r=4 \sqrt{3} \\ cos30^o= \frac{r}{l} \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
pole boczne stożka
Z założenia mamy \(\displaystyle{ l+2r=4\sqrt{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ l, r}\) oznaczają odpowiednio długość tworzącej i długość promienia podstawy stożka.
Ponadto z twierdzenia kosinusów dostajemy \(\displaystyle{ 4r^2=(2r)^2=l^2+l^2-2\cdot l\cdot l\cdot\cos 120^o=2l^2(1-\cos 120^o)=3l^2}\), czyli \(\displaystyle{ r=\frac{l\sqrt{3}}{2}}\). Stąd i z powyższego otrzymujemy \(\displaystyle{ l+l\sqrt{3}=4\sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ l=\frac{4\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}\). Zatem \(\displaystyle{ r=3(\sqrt{3}-1)}\) i ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka jest \(\displaystyle{ P=\pi rl=6\pi\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)^2=12\pi\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}\).
Ponadto z twierdzenia kosinusów dostajemy \(\displaystyle{ 4r^2=(2r)^2=l^2+l^2-2\cdot l\cdot l\cdot\cos 120^o=2l^2(1-\cos 120^o)=3l^2}\), czyli \(\displaystyle{ r=\frac{l\sqrt{3}}{2}}\). Stąd i z powyższego otrzymujemy \(\displaystyle{ l+l\sqrt{3}=4\sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ l=\frac{4\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}\). Zatem \(\displaystyle{ r=3(\sqrt{3}-1)}\) i ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka jest \(\displaystyle{ P=\pi rl=6\pi\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)^2=12\pi\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}\).