wyznaczyć promień podstawy stożka

[yoana91]

Metalową kulę o promieniu R=3cm przetopiono na stożek. Tworząca stożka jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), takim, że \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{5}}\) . Wyznacz promień podstawy tego stożka.

[JankoS]

Metalową kulę o promieniu R=3cm przetopiono na stożek. Tworząca stożka jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), takim, że \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{5}}\) . Wyznacz promień podstawy tego stożka.

l - tworząca stożka
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{4}{3}\pi 27 =36\pi \left(=V_{kuli}=V_{st}= \right ) = \frac{1}{3}\pi r^2h \\ \frac{h}{l}= \frac{ \sqrt{5} }{5} \\ h^2+r^2=l^2 \\h,l,r>0 \end{cases}.}\).

[yoana91]

tak robiłam, w obliczeniach wychodzi jakieś bagno...

[JankoS]

l - tworząca stożka
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{4}{3}\pi 27 =36\pi \left(=V_{kuli}=V_{st}= \right ) = \frac{1}{3}\pi r^2h \\ \frac{h}{l}= \frac{ \sqrt{5} }{5} \\ h^2+r^2=l^2 \\h,l,r>0 \end{cases}.}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} h= \frac{108}{r^2} \\ l= \frac{5h}{ \sqrt{5} }= \frac{540}{ \sqrt{5}r^2 }\\ r^2= \frac{540^2}{5r^4}- \frac{108^2}{r^4}= \frac{540^2-5 \cdot 108^2 }{5r^4} \\ h,l,r>0 \end{cases}}\).
Rozwiązuję trzecie mając na uwadze czwarte.
\(\displaystyle{ 5r^6=233280 \Leftrightarrow r^6=46656=2^6 \cdot 3^6 \cdot 5 \Leftrightarrow r=6 \sqrt[6]{5}.}\)

[yoana91]

z Twojego sposobu wyszło mi że r=6

[MistyKu]

obliczylem kalkulatorem pierwiastek 6 stopnia z 46656 i to faktycznie jest 6, natomiast \(\displaystyle{ 2^{6}*3^{6}*5=46656}\) i nie rozumiem czemu bledne jest przejscie na \(\displaystyle{ r=6 \sqrt[6]{5}}\)

[JankoS]

obliczylem kalkulatorem pierwiastek 6 stopnia z 46656 i to faktycznie jest 6, natomiast \(\displaystyle{ 2^{6}*3^{6}*5=46656}\) i nie rozumiem czemu bledne jest przejscie na \(\displaystyle{ r=6 \sqrt[6]{5}}\)

Errare humanum est.
Za błąd przepraszam.

[MistyKu]

ale ja sie pytam czemu to jest blad ; DDDD