Ostrosłup prawidłowy trójkątny - objętość

[gielek]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt ściany bocznej przy wierzchołku ma miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\) .
Pole ściany bocznej jest równe \(\displaystyle{ P}\) . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[florek177]

h - wysokość ściany bocznej; a - krawędź podstawy;

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \, a \, h = P \,\,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{\frac{a}{2}}{h} = tg(\alpha) \,\,\,\,}\) --> policz \(\displaystyle{ a}\) .

policz wysokość podstawy a z pitagorasa wysokość ostrosłupa: \(\displaystyle{ H^{2} = h^{2} - (\frac{1}{3} \, h_{p})^{2}}\)

Z pierwszego liczenia wyszło: \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \, \sqrt{P^{3}} \, \sqrt{tg({\alpha}) \, (3 - tg^{2} (\alpha))}\,\,\,}\) ; ale może być błąd rachunkowy !

[gielek]

Nic z tego nie rozumiem
Po co mi każesz np. liczenie \(\displaystyle{ a}\), liczenie wysokości ostrosłupa a przy V w ogóle tego nie wykorzystujesz..
Potrzebuję wyliczenia tego w jakiś prosty sposób

[wujomaro]

Musisz mieć a, aby wyliczyć tangens \(\displaystyle{ \alpha}\). Bez funkcji trygonometrycznych tego zadania zrobić się nie da.

[gielek]

Rzecz w tym, że nie muszę podstawić i wyliczyć, tylko zapisać np. \(\displaystyle{ V=\tg\alpha*P*\frac{\tg\alpha}{2}}\)
(ten przykład oczywiście abstrakcyjny)
I w postaci przy użyciu \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ P}\) zapisać wyliczenie \(\displaystyle{ V}\)
Oczekują ode mnie żebym przedstawił wyliczenia za pomocą tych dwóch danych. Mnie to przerasta. (nienawidzę całej geometrii)

[florek177]

Nie gorączkuj się. Przy tego typu zadaniach, bez wartości "numerycznych", musisz wszystkie dane uzależnić od tych, które podane są w zadaniu.

Do wzoru na objętość potrzebne są: a, hp - podstawy, H - wysokość ostrołupa.

Z zależności, które podałem, wyznaczasz: \(\displaystyle{ a(P, \alpha); h_{p}(P, \alpha); H(P, \alpha)}\).

W tym zadaniu mamy \(\displaystyle{ \alpha \Rightarrow tg(\alpha)}\)