zadania o bryłach

[Monissiaa]

1) W pewnym walcu stosunek sumy pól podstaw do pola powierzchni bocznej jest równy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{6}}\) Wskaż, że przekątna walca tworzy z płaszczyzny podstawy kąt 60 stopni.

2)Do naczynia w kształcie stożka o średnicy 12 cm wlano jeden litr płynu, wypełniając całkowicie naczynie. Jako wysokość ma to naczynie?

[mati1024]

Zad. 1. Pole podstawy to pole koła, a pole podstaw będzie polem 2 kół: \(\displaystyle{ P=2 \pi r ^{2}}\)
Pole powierzchni bocznej wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ P = 2 \pi r H}\)

Stosunek tych pól jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{6}}\), czyli: \(\displaystyle{ \frac{2 \pi r ^{2} }{2 \pi r H} = \frac{r}{H} = \frac{ \sqrt{3} }{6}}\)

Na odpowiednim rysunku widzimy, że przekątna walca, średnica walca (2r) i wysokość walca (H) tworzą trójkąt prostokątny, gdzie 2 ostatnie długości są przyprostokątnymi.

Cotangens kąta nachylenia przekątnej walca do podstawy to stosunek średnicy do wysokości czyli \(\displaystyle{ \frac{2r}{H} = 2 \cdot \frac{r}{H} = 2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{6} = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

Kąt ostry którego cotangens ma taką wartość to właśnie 60 stopni.


Zad. 2. Średnica 12 cm to promień podstawy wynosi 6cm czyli 0,6dm
Objętość stożka to 1 litr czyli 1 decymetr sześceinny

Korzystając ze wzoru na objętość stożka liczymy wysokość:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \cdot \pi r ^{2}H \\
1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 0,36 \cdot H \\
H = \frac{1}{0,12 \pi} \\
H = 8 \frac{1}{3} \pi [dm]}\)

[Sherlock]

2.
\(\displaystyle{ 1l=1dm^3=1000cm^3}\), znasz więc objętość stożka, znasz promień jego podstawy (połowa średnicy), wysokość wyliczysz bez problemu.