Zad1.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Przekątna podstawy tego ostrosłupa jest równa 4, a wysokość 6 . Objętość ostrosłupa jest równa?
Zad.2
Powierzchnia kuli jest równa \(\displaystyle{ 36\pi}\) oblicz objetość.
Zad.3
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku dlugości \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) , pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe?
Zad.4
Przekątna sześcianu jest równa \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\) . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe?
Zad.5
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku 8 objętość walca jest równa?
Różne zadania o bryłach.
Różne zadania o bryłach.
Ostatnio zmieniony 2 sty 2010, o 20:37 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
mati1024
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 2 sty 2010, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Pomógł: 25 razy
Różne zadania o bryłach.
Zad. 1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a więc, skoro przekątna kwadratu ma długość 4, to długość boku kwadratu obliczymy z twierdzenia Pitagorasa lub ze wzoru na przekątną kwadratu:
\(\displaystyle{ d = a \sqrt{2} \\
4 = a \sqrt{2} \\
a = \frac{4}{ \sqrt{2} } = \frac{4 \sqrt{2} }{2} = 2 \sqrt{2}}\)
Objętość ostrosłupa wyraża sie wzorem:
\(\displaystyle{ V = \frac{P _{p} \cdot H }{3} = \frac{(2 \sqrt{2}) ^{2} \cdot 6 }{3} = \frac{48}{3} = 16}\)
Zad. 2. Powierzchnia kuli wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P=4 \pi R ^{2}}\)
Aby wyliczyć R rozwiązujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{36}{\pi} = 4 \pi R ^{2} \\}\)
Otrzymujemy \(\displaystyle{ R = \frac{3}{\pi}}\)
Objętość liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ V = \frac{4}{3} \pi R ^{3} = \frac{4}{3} \pi \frac{27}{\pi ^{3} } = \frac{36}{\pi ^{2} }}\)
Zad. 3. Skoro przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny o boku długości \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\) to taką długość mają tworząca stożka (l) i średnica podstawy stożka (2r). Promień podstawy stożka będize miał więc długosć 2 razy krótszą (\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\))
Pole powierzchni całkowitej liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ P _{c} = \pi r(r + l) = \pi \cdot \sqrt{3} ( \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) = 9 \pi}\)
Zad. 4. Należy zacząć od rysunku sześcianu i jego przekątnej. Tworzy ona z przekątną podstawy (a w zasadzie 1 ze ścian) i wysokością (a w zasadzie 1 z krawędzi) trójkąt prostokątny.
Mamy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych:
- \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) - przekątna ściany
- \(\displaystyle{ a}\) - krawędź sześcianu
i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}}\)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy a:
\(\displaystyle{ (a \sqrt{2}) ^{2} + a ^{2} = 4 \sqrt{3}}\)
Wychodzi a = 4
Pole powierzchni liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ P = 6a ^{2} = 6 \cdot 4 ^{2} = 6 \cdot 16 = 96}\)
Zad. 5.
Skoro przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku 8 to taką długość ma wysokość walca (H) oraz średnica jego podstawy (2r). Promień podstawy walca będize więc miał długość 2 razy krótszą: 4.
Objętość liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ V = P _{p} \cdot H = \pi \cdot 4 ^{2} \cdot 8 = 128 \pi}\)
\(\displaystyle{ d = a \sqrt{2} \\
4 = a \sqrt{2} \\
a = \frac{4}{ \sqrt{2} } = \frac{4 \sqrt{2} }{2} = 2 \sqrt{2}}\)
Objętość ostrosłupa wyraża sie wzorem:
\(\displaystyle{ V = \frac{P _{p} \cdot H }{3} = \frac{(2 \sqrt{2}) ^{2} \cdot 6 }{3} = \frac{48}{3} = 16}\)
Zad. 2. Powierzchnia kuli wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P=4 \pi R ^{2}}\)
Aby wyliczyć R rozwiązujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{36}{\pi} = 4 \pi R ^{2} \\}\)
Otrzymujemy \(\displaystyle{ R = \frac{3}{\pi}}\)
Objętość liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ V = \frac{4}{3} \pi R ^{3} = \frac{4}{3} \pi \frac{27}{\pi ^{3} } = \frac{36}{\pi ^{2} }}\)
Zad. 3. Skoro przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny o boku długości \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\) to taką długość mają tworząca stożka (l) i średnica podstawy stożka (2r). Promień podstawy stożka będize miał więc długosć 2 razy krótszą (\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\))
Pole powierzchni całkowitej liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ P _{c} = \pi r(r + l) = \pi \cdot \sqrt{3} ( \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) = 9 \pi}\)
Zad. 4. Należy zacząć od rysunku sześcianu i jego przekątnej. Tworzy ona z przekątną podstawy (a w zasadzie 1 ze ścian) i wysokością (a w zasadzie 1 z krawędzi) trójkąt prostokątny.
Mamy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych:
- \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) - przekątna ściany
- \(\displaystyle{ a}\) - krawędź sześcianu
i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}}\)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy a:
\(\displaystyle{ (a \sqrt{2}) ^{2} + a ^{2} = 4 \sqrt{3}}\)
Wychodzi a = 4
Pole powierzchni liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ P = 6a ^{2} = 6 \cdot 4 ^{2} = 6 \cdot 16 = 96}\)
Zad. 5.
Skoro przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku 8 to taką długość ma wysokość walca (H) oraz średnica jego podstawy (2r). Promień podstawy walca będize więc miał długość 2 razy krótszą: 4.
Objętość liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ V = P _{p} \cdot H = \pi \cdot 4 ^{2} \cdot 8 = 128 \pi}\)