Ostrosłup o podstawie trójkąta równoramiennego.

[izak110]

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkat równoramienny ABC, w którym kąt ostry między ramionami AB i AC ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Sciana Boczna BCS jest przystajaca do trójkąta ABC i prostopadła do płaszczyzny podstawy. Wykaż, że krawędz BS tworzy z krawędzią AB kąt \(\displaystyle{ \beta}\) taki, że \(\displaystyle{ cos\beta=sin^2 \frac{\alpha}{2}}\)

[Sherlock]

Wyraź |AB| za pomocą funkcji kąta \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) oraz h, następnie w trójkącie BAS zastosuj tw. cosinusów.

[izak110]

Próboje robić tak jak mi mówiłes ale nie wychodzi.
Na początku uzalezniłem \(\displaystyle{ AB= \frac{h}{\cos \frac{\alpha}{2} }}\) potem z tw cos.

\(\displaystyle{ 2*(\frac{h}{\cos \frac{\alpha}{2} })^2 -2* (\frac{h}{\cos \frac{\alpha}{2} })^2 * cos\beta=2h^2}\)
i wychodzi mi
\(\displaystyle{ 1- cos\beta= \frac{cos^2 \frac{\alpha}{2} }{h}}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ 2*(\frac{h}{\cos \frac{\alpha}{2} })^2 -2* (\frac{h}{\cos \frac{\alpha}{2} })^2 * cos\beta=2h^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2h^2}{cos^2 \frac{\alpha}{2} }(1-cos\beta)=2h^2 \\ \frac{1}{cos^2 \frac{\alpha}{2} }(1-cos\beta)=1 \\ 1-cos\beta=cos^2 \frac{\alpha}{2} \\ cos\beta=1-cos^2 \frac{\alpha}{2}}\)
pozostaje zastosować jedynkę trygonometryczną